Ta có

Mà nên là bội của và là ước của

Lại có

Mà nên là bội của và là ước của

Từ và suy ra

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 4: Tìm phân số tối giản biết rằng lấy tử cộng với , lấy mẫu cộng với thì được một phân số bằng .

Lời giải

Ta có

Suy ra

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 5: Tìm phân số tối giản biết rằng lấy tử cộng với , lấy mẫu cộng với thì giá trị của phân số không đổi.

Lời giải

Ta có

Suy ra

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 6: Tìm một phân số tối giản biết rằng khi cộng mẫu vào tử để có tử mới và lấy mẫu trừ tử để có mẫu mới thì được một số chính phương chẵn bé nhất.

Lời giải

Gọi phân số cần tìm là , theo đề bài ta có:

suy ra hay

suy ra

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 7: Tìm phân số tối giản có mẫu là , biết rằng khi cộng tử với , nhân mẫu với thì được một phân số bằng phân số ban đầu.

Lời giải

Gọi phân số cần tìm là . Theo đề bài ta có:

Vậy phân số cần tìm là .

Bài 8: Tìm một phân số khi chưa tối giản có tổng của tử và mẫu là , sau khi rút gọn được . Tìm phân số ban đầu.

Lời giải

Phân số ban đầu cần tìm và

Hay

Vậy phân số ban đầu là .

Bài 9: a) Với là một số nguyên tố nào thì phân số là phân số tối giản.

b) Với là một số nguyên tố nào thì phân số là phân số tối giản.

Lời giải

a) Ta có là phân số tối giản khi là số nguyên tố khác và .

b) Ta có là phân số tối giản khi là số nguyên tố khác và .

Bài 10: Tìm để .

Lời giải

Gọi suy ra

Hay

Do đó hay

Ta có

tối giản và

Vì dạng tối giản của phân số là duy nhất nên

(vì )

Vậy với thì

PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: (HUYỆN HOA LƯ NĂM 2020-2021)

Cho . Chứng tỏ là phân số tối giản.

Lời giải

ĐK:

Gọi

Vậy là phân số tối giản

Bài 2: (HUYỆN PHÙ CÁT NĂM 2020-2021)

Tìm để phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Để là phân số tối giản thì

Vậy thì phân số là phân số tối giản

Bài 3: (HUYỆN THANH BA NĂM 2020-2021)

Chứng minh phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên : .

Lời giải

Gọi

Vậy phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên .

Bài 4: (HUYỆN CHƯƠNG MỸ NĂM 2020-2021)

Cho phân số

a) Chứng tỏ rằng phân số P tối giản.

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của biểu thức P.

Lời giải

Cho phân số

a) Gọi

và

b) Ta có:

Để đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị âm nhỏ nhất, mà nên đạt giá trị nguyên âm lớn nhất khi .

Khi đó giá trị lớn nhất của là: .

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị dương lớn nhất; mà nên đạt giá trị nguyên dương nhỏ nhất khi .

Khi đó giá trị nhỏ nhất của là: .

Vậy giá trị lớp nhất của bằng , đạt tại

Giá trị nhỏ nhất của bằng , đạt tại .

Bài 5: (HSG SƠN TỊNH NĂM 2020-2021)

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên , phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Vậy phân số là phân số tối giản.

Bài 6: (HUYỆN NHO QUAN NĂM 2020-2021)

Chứng tỏ rằng với là số nguyên dương thì là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Vậy: phân số phân số là phân số tối giản với

Bài 7: (HUYỆN TRIỆU SƠN NĂM 2020-2021)

Tìm các số tự nhiên để phân số là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Để phân số là phân số tối giản thì

Hay không chia hết cho 7

Vậy: với phân số là phân số tối giản.

Bài 8: (THỊ XÃ THÁI HÒA NĂM 2020-2021)

Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản với mọi số tự nhiên .

Lời giải

Gọi

Vậy phân số phân số là phân số tối giản với

Bài 9: (HUYỆN ANH SƠN NĂM 2020-2021)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì là phân số tối giản.

Lời giải

Gọi

Vậy phân số phân số là phân số tối giản với

Bài 10: (HUYỆN PHÚ LƯƠNG NĂM 2020-2021)

Lời giải

Ta có các phân số đã cho đều có dạng với

Do đó để các phân số đều tối giản thì và phải nguyên tố cùng nhau.

Suy ra phải nhỏ nhất và nguyên tố cùng nhau với các số

là số nguyên tố nhỏ nhất và lớn hơn 100

–HẾT—

Phương Pháp Giải Toán Về Phân Số Tối Giản

0 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu