Vậy với ta luôn có chia hết cho 3.

Bài 4: Chứng minh rằng với ta luôn có chia hết cho 6.

Giải:

Đặt

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Vậy với ta luôn có chia hết cho 6.

Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi số thì chia hết cho .

Giải:

* Với , ta có

* Giả sử mệnh đề đúng với , suy ra

* Với , xét

Mà

Vậy với mọi số thì chia .hết cho .

Dạng 3: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức.

I. Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với ( giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với có nghĩa là khi ta chứng minh vế trái bằng vế phải.

II. Bài toán:

Bài 1: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1, vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 2: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 3: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

* Với , ta có vế trái chỉ có một số hạng là 1 , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 4: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 5: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 6: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 7: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 8: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 9: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có:

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Bài 11: Chứng minh rằng với ta có đẳng thức: .

Giải:

* Với , ta có vế trái bằng , vế phải bằng

Vậy hệ thức đúng với

* Đặt vế trái bằng , giả sử đẳng thức đúng với

Tức là:

Ta phải chứng minh đẳng thức trên cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy đẳng thức trên đúng với mọi .

Luyện Thi HSG Toán 6 Chủ Đề: Quy Nạp Toán Học Chứng Minh Bài Toán Chia Hết

2 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu