Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

Bài 7: Cho và là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: và .

Lời giải:

Đặt

+ TH1:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

+ TH2:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

Bài 8 : Cho và là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau là hai số nguyên tố cùng nhau: và .

Lời giải:

Đặt

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

Bài 9: Chứng minh rằng nếu nếu nguyên tố cùng với và thì c nguyên tố cùng nhau với tích

Lời giải:

Gọi là ước chung nguyên tố của và .

+ TH1:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

+ TH2:

Mà và là 2 số nguyên tố cùng nhau nên

Vậy và là hai số nguyên tố cùng nhau. ( ĐPCM )

Bài 10: Tìm số tự nhiên n để các số và là các số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Giả sử vàcùng chia hết cho số nguyên tố d thì

Điều kiện để là .Hiển nhiên vì không chia hết cho 3.Muốn

phải có ít nhất một trong 2 số vàkhông chia hết cho 2.Ta thấy:

+ Nếu là số lẻ lẻ lẻ,

+ Nếu là số lẻ lẻ lẻ.

Vậy điều kiện để hai số và là các số nguyên tố cùng nhau là n lẻ.

Bài 11: Tìm số tự nhiên để các số và là các số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải:

Giả sử vàcùng chia hết cho số nguyên tố d thì

Điều kiện để là .Hiển nhiên vì không chia hết cho 3. Muốn thì số không chia hết cho 7 (vì luôn chia hết cho 7 )

Vậy điều kiện để hai số và là các số nguyên tố cùng nhau là .

Bài 12: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

Gọi

Mà là số lẻ nên

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Bài 13: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

Gọi

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Bài 14: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

Gọi

Vì là số lẻ.

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Bài 15: Chứng minh rằng hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

Lời giải:

Gọi

Vậy hai số và là các số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên .

PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG.

Bài 1: Tìm số tự nhiên để là số nguyên tố.

(HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2015 – 2016).

Lời giải:

Xét thì không phải là số nguyên tố

Xét thì là số nguyên tố.

Xét :

Mà chia hết cho, suy ra chia hết cho .

Tương tự: chia hết cho .

Vậy chia hết cho nên là hợp số. Số tự nhiên cần tìm .

Bài 2 : Tìm các số nguyên tố để cũng là số nguyên tố.

(HSG Thành phố Hà Nội 2016 – 2017).

Lời giải:

Nếu thì (không thỏa mãn).

Nếu thì (thỏa mãn).

Nếu thì .

Kết luận là giá trị cần tìm.

Bài 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố thỏa mãn .

(Chuyên Vũng Tàu 2016 – 2017).

Lời giải:

Do và nguyên tố nên chỉ có thể nhận các giá trị .

Ta có bảng giá trị tương ứng:


1		3	1
5		7	3
		3	1
	5	3	1

Do là các số nguyên tố nên chỉ có cặp thỏa mãn.

Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên (theo hệ thập phân) thỏa mãn các điều kiện sau: , trong đó và là số nguyên tố.

Lời giải:

Do là số nguyên tố, tức là là số nguyên tố ta có hoặc 9.

Từ điều kiện thứ nhất ta có: .

Theo bảng số nguyên tố ta tìm được các cặp số nguyên tố và thỏa mãn điệu kiện thứ nhất sau đây: ,, , , , , , , , ,

Tương ứng với là các số sau: ; ; ; ; 409 là số nguyên tố; ; ; ; ; ; 907 là số nguyên tố.

Vậy

Bài 5: Tìm số tự nhiên sao cho và đều là số nguyên tố.

Lời giải:

Một số tự nhiên bất kì có 1 trong hai dạng: với . Nếu thì chia hết cho 2.

Ta có và chia hết cho 2. Nên là hợp số trái đề bài.

Do đó: . Nhưng nguyên tố nên và nguyên tố.

Vậy .

Bài 6: Tìm số nguyên tố sao cho và đều là số nguyên tố.

Lời giải:

Bất kì số tự nhiên nào cũng có một trong ba dạng: . Nếu thì , vô lí.

Nếu thì , vô lí. Do đó .

Nhưng nguyên tố nên nguyên tố. Vậy .

Bài 7: Tìm các số nguyên tố thỏa mãn

Lời giải:

Vì là các số nguyên tố

là số nguyên tố lẻ

là số chẵn chẵn

thay vào ta có

Nếu lẻ ( lẻ)

vô lí

Do đó là số chẵn

Thay

Vậy

Bài 8: Tìm để là số nguyên tố

Lời giải:

Để là số nguyên tố thì

Thử lại với thì là số nguyên tố.

Vậy với thì là số nguyên tố.

Bài 9: Tìm số nguyên tốsao cho và là các số nguyên tố (trích đề thi HSG Quãng Trạch)

Lời giải:

Với thì và là các số nguyên tố

Với thì

Nếu thì

Vậy thì vàlà các số nguyên tố.

Bài 10: Tìm các số tự nhiên để là số nguyên tố.( trích đề thi HSG Thanh Oai)

Lời giải:

Ta có

Vì nên để là số nguyên tố thì

Thử lại là số nguyên tố

Vậy với thì là số nguyên tố

Bài 11: Chứng minh rằng nếu và là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Nga Sơn)

Lời giải:

Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia hết cho 3 đều có dạng hoặc

Với thì chia hết cho

Vì là số nguyên tố nên khi đó trong cả hai trường hợp trên thì đều lớn hơn và chia hết cho , tức là là hợp số

chỉ là hợp số khi khi đó là số nguyên tố

là số nguyên tố

Vậy nếu và là các số nguyên tố thì cũng là số nguyên tố.

Bài 12:Cho là số nguyên tố hay hợp số? vì sao? (trích đề thi HSG Nam Trực)

Lời giải:

Mà

Nên là hợp số

Bài 13: Cho là số nguyên tố. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số? (trích đề thi HSG Bá Thước)

Lời giải:

Ta có là số nguyên tố suy ra chia dư

chia dư

chia hết cho

Vậy là hợp số

Bài 14: Tìm số tự nhiên sao cho là số nguyên tố. (Trích đề thi HSG Hiệp Hòa)

Lời giải:

Vì nên và Ư

Vì là số nguyên tố nên hoặc

+ Nếu thì (thỏa)

+ Nếu

thì không phải là số nguyên tố, loại

Vậy thì là số nguyên tố.

Bài 15: Tìm các số tự nhiên để là số nguyên tố. (trích đề thi HSG Hưng Hà).

Lời giải:

Với ta có là số nguyên tố.

Với ta có nên mà do đó là hợp số

Vậy thì là số nguyên tố.

– HẾT —

Luyện Thi HSG Toán 6 Chủ Đề: Định Nghĩa Tính Chất Số Nguyên Tố Hợp Số

0 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu