Apollonius (khoảng 262 TCN - khoảng 190 TCN) là một nhà thiên văn và nhà toán học Hy Lạp cổ, nổi tiếng vì các tác phẩm liên quan đến các đường conic. Tên ông được đặt cho một miệng hố trên Mặt Trăng.Parabol đã được nghiên cứu từ khoảng 200 năm TCN bởi nhà toán học, nhà thiên văn học Apollonius. Ông là người đầu tiên đưa ra các thuật ngữ elip, hypebol, parabol và định nghĩa của chúng được sử dụng đến ngày nay. Parabol tiếng anh là parabola, là một đường conic (các đường conic gồm đường tròn, elip, parabol và hypebol) được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thể được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (gọi là đường chuẩn).

d) Tổ chức thực hiện:

-Chuyển giao nhiệm vụ qua các câu hỏi; GV trình chiếu hình ảnh cho hs theo dõi. Sau đó Gv yêu cầu hs làm việc theo nhóm 5 phút. Gv chia mỗi nhóm là một bàn. Sau đó GV gọi đại diện nhóm đứng tại chỗ trả lời

- Thực hiện: HS thảo luận theo nhóm thực hiện nhiệm vụ.GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm.

- Báo cáo thảo luận: Nhóm nào có câu trả lời thì giơ tay, nhóm nào giơ tay trước thì trả lời trước.

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv nhận xét câu trả lời của các nhóm và chọn nhóm thắng cuộc.

Gv chốt kiến thức: Từ các hình ảnh trên các em thấy được trong cuộc sống có rất nhiều công trình, đồ vật… được sử dụng 3 đường conic. Và để tìm hiểu sâu hơn về chúng thì chúng ta đi tìm hiểu thêm thông qua nội dung bài học hôm nay

2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới

Hoạt động 2.1:

HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1: MÔ TẢ 3 ĐƯỜNG CONIC DỰA TRÊN TIÊU ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG CHUẨN

a) Mục tiêu: Giúp hs xác định được 3 đường conic dựa trên tiêu điểm và đường chuẩn

b) Nội dung:

CH1: HS quan sát Hình 22a, 22b, 22c trong SGK Tr 60 CĐHT Toán 10 nêu tỉ số khoảng cách từ 1 điểm M nằm trên mỗi đường conic đến tiêu điểm của nó và khoảng cách từ M đến đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó. Từ đó rút ra kiến thức trọng tâm

CH2: Áp dụng kiến thức vừa học các em làm ví dụ 1 trong sgk tr 61 CĐHT Toán 10

CH3: Áp dụng kiến thức vừa học các em làm ví dụ 2 trong sgk tr 61 CĐHT Toán 10

c) Sản phẩm:

CH1: Trong mặt phẳng cho điểm F cố dịnh và một đường thẳng △ cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số bằng một số dương e cho trước được gọi là đường conic.

Điểm F gọi là tiêu điểm, đường thẳng △ gọi là đường chuẩn tương ứng với F và e gọi là tâm sai của đường conic

Ta có thể chứng minh được rằng:

Nếu tâm sai e<1 thì đường conic nhận được là đường Elip

Nếu tâm sai e=1 thì đường conic nhận được là đường Parbol

Nếu tâm sai e>1 thì đường conic nhận được là đường Hypebol

CH2: Ví dụ 1 trong sgk tr 61 CĐHT Toán 10

CH3: Ví dụ 2 trong sgk tr 61 CĐHT Toán 10

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ:

CH1: Gv yêu cầu hs làm việc cá nhân.

CH2: CH3: Gv yêu cầu HS làm việc theo nhóm 15 phút. Mỗi nhóm là một bàn

- Thực hiện: HS thảo luận theo và thực hiện nhiệm vụ.GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn hs

- Báo cáo thảo luận: CH1: HS trả lời thì giơ tay và Gv gọi hs khác nhận xét

CH2: CH3:HS thảo luận theo nhóm thực hiện nhiệm vụ.GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm.

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv nhận xét câu trả lời của hs, của các nhóm và chọn hs trả lời đúng, nhóm thắng cuộc cho điểm động viên và khuyến khích các em. Gv chốt kiến thức: Gv nhấn mạnh kiến thức:

Hoạt động 2.2:

HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 2: II. MÔ TẢ BA ĐƯỜNG CONIC DỰA TRÊN GIAO CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT NÓN:

a)Mục tiêu: Phát biểu được mặt nón được tạo thành như nào; xác định được khi nào giao của mặt phẳng và mặt nón là đường tròn, elip, parabol hay hypebol.

b) Nội dung: Tìm hiểu khái niệm mặt tròn xoay; Xác định được giao của mặt phẳng và mặt nón.

Nhiệm vụ 1: Hình nón được tạo thành như nào?

Nhiệm vụ 2: Mặt tròn xoay được tạo thành khi nào?

Nhiệm vụ 3: Khi nào mặt phẳng giao với mặt nón là đường elip, parabol, hypebol?

Nhiệm vụ 4: Trả lời câu hỏi ví dụ 3 tr63

c) Sản phẩm:

- Khái niệm mặt tròn xoay: sgk trang 62

- Giao của mặt phẳng với mặt nón: sgk trang 62-63

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ: GV nêu 4 câu hỏi trên, Hs theo dõi sgk kết hợp xem Video trên trang của sách cánh diều về nhận biết được đường conic như là giao của mặt phẳng với mặt nón gv trình chiếu để trả lời 4 câu hỏi trên, yêu cầu hs làm ra vở, làm việc cá nhân hoặc căp đôi

- Thực hiện: Học sinh làm việc cá nhân hoặc cặp đôi để trao đổi thực hiện các nhiệm vụ trên

- Báo cáo thảo luận: : Giáo viên gọi từng hs trả lời các nhiệm vụ, hs thảo luận và nhận xét.

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv nhận xét câu trả lời của hs, và khuyến khích các em. Gv chốt kiến thức: Gv nhấn mạnh kiến thức:

Hoạt động 2.3:

HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC TRONG THỰC TIỄN

a) Mục tiêu: Giới thiệu các ứng dụng của đường conic trong quang học, âm học, quỹ đạo của tàu vũ trụ.

b) Nội dung:

CH1: Nêu tính chất về phản xạ tia sáng của elip?Từ tính chất đó elip có ứng dụng gì trong quang học?

CH2: Nêu ứng dụng quang học của hypebol

CH3: Nêu tính chất về phản xạ tia sáng của parabol? Từ tính chất đó parabol có ứng dụng gì trong quang học và âm học.

CH4: Nêu ứng dụng của đường conic trong quỹ đạo của của tàu vũ trụ?

c) Sản phẩm:

CH1: Elip có tính chất quan trọng sau: Một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip,thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại của elip.Từ tính chất đó elip có nhiều ứng dụng trong quang học, ví dụ chế tạo gương hình elip.

CH2: Gương hình hypebol được dùng trong kính thiên văn

CH3: Parabol có tính chất quan trong như sau: Toàn bộ tia sáng đi từ F, sau khi phản xạ tại parabol, sẽ truyền đi theo hướng song song với trục đối xứng của nó. Ngược lại một tia sáng song song với trục đối xứng của parabol, sau khi phản xạ tại parabol sẽ đi qua tiêu điểm của parabol.

Từ đó Parabol có nhiều ứng dụng trong quang học, âm học. Ví dụ như:

1. Chế tạo gương phía sau đèn trước xe hơi, giúp người lái xe nhìn xa hơn về phía trước.

2. Gương parabol khổng lồ dùng trong kính thiên văn thu thập ánh sáng từ những nơi xa xôi của vũ trụ, nơi có những nguồn phát ánh sáng vào trong không gian dưới dạng đèn pha.

3. Gương parabol khổng lồ dùng trong kính thiên văn thu thập tín hiệu từ những nơi xa xôi của vũ trụ, nơi có nguồn phát tín hiệu vào trong không gian dưới dạng sóng âm

CH4: Trong thiết lập quỹ đạo bay của các con tàu vũ trụ phóng từ Trái Đất, các nhà khoa học luôn chọn quỹ đạo bay là đường conic. Tốc độ của tàu vũ trụ tương ứng với quỹ đạo bay của tàu vũ trụ được thể hiện trong bảng SGK trang 66

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ: GV giao câu hỏi trước hs chuẩn bị cá nhân ở nhà

- Thực hiện: Hs làm việc ở nhà

- Báo cáo thảo luận: Hs bốc thăm câu hỏi trả lời, Hs nhận xét. GV nhận xét cho điểm từng hs.

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv nhận xét câu trả lời của hs, và khuyến khích các em. Gv chốt kiến thức: Gv nhấn mạnh kiến thức:

3. Hoạt động Luyện Tập

Hoạt động Khởi động : Tổng hợp các nội dung lí thuyết cần đủ để giải các bài tập từ 1 đến 4

a) Mục tiêu: Tổng hợp lý thuyết cơ bản về các đường conic: PTCT; các yếu tố đặc trưng của đường conic; định nghĩa đường conic; Cách xác định loại đường conic thông qua số e.

b) Nội dung:

CH1: Nêu PTCT của Elip; Vẽ elip trên hệ trục 0xy; tọa độ tiêu điểm; tiêu cự; độ dài trục lớn, trục bé; tâm sai; đỉnh của HCN cơ sở.

CH 2: Nêu PTCT của Hypebol; Vẽ hypebol trên hệ trục 0xy; tọa độ tiêu điểm; tiêu cự; độ dài trục lớn, trục bé; tâm sai; đỉnh của HCN cơ sở.

CH 3: Nêu PTCT của Parabol; Vẽ Parabol trên hệ trục 0xy; tọa độ tiêu điểm; phương trình đường chuẩn; tâm sai của parabol.

CH 4: Nêu định nghĩa đường conic, nêu các xác định đường conic thông qua số e

c) Sản phẩm:

CH 1:

- Phương trình chính tắc của (E) có dạng: ( a> b > 0) Với

- HCN cơ sở có 4 đỉnh :

- Tọa độ tiêu điểm:

- Tiêu cự:

- Đoạn là trục lớn; độ dài trục lớn

- Đoạn là trục bé ; độ dài trục bé

- Tâm sai

CH 2:

- Phương trình chính tắc của (E) có dạng: ( a>0; b > 0) Với

- HCN cơ sở có 4 đỉnh :

- Tọa độ tiêu điểm:

- Tiêu cự:

- Đoạn là trục thực; độ dài trục thực

- Đoạn Blà trục ảo ; độ dài trục ảo

- Tâm sai

CH3: PTCT của parabol ( p > 0

- Tọa độ tiêu điểm - Phương trình đường chuẩn

-Tâm sai e = 1

CH4: Trong mặt phẳng cho điểm F cố định và đường thẳng cố đinh, không đi qua F. Tập hợp điểm M sao cho tỉ số bằng 1 số dương e cho trước, được gọi là đường conic.

-Nếu e < 1 thì đường conic nhận được là đường elip

-Nếu e =1 thì đường conic nhận được là đường parabol

-Nếu e>1 thì đường conic nhận được là đường hypebol

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ: Gv giao câu hỏi trước, mỗi hs trả lời vào vở bài tập của mình. Mỗi tổ chuẩn bị trước 1 câu trả lời viết ra bảng phụ

- Thực hiện: Cá nhân làm việc tại nhà; nhóm thảo luận trước tiết học thống nhất nội dung trả lời ghi ra bảng phụ

- Báo cáo thảo luận: GV gọi hs bất kì kiểm tra miệng các thành viên của tổ được giao nhiệm vụ theo dõi chấm điểm

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv tư vấn, đánh giá sản phẩm và phần cho điểm của hs. GV chốt kiến thức.

Hoạt động 3.1: Lập phương trình chính tắc của đường conic khi biết hình chữ nhật cơ sở, vẽ đường conic.

a) Mục tiêu: Lập PTCT của đường conic khi biết hình chữ nhật cơ sở, Vẽ đường conic

b) Nội dung: Giải bài tập 1 sgk trang 66

c) Sản phẩm:

Bài 1a) Từ đỉnh A( -4; 3); B(4;3). Ta có a = 4; b=3. PTCT của Elip là

Bài 1b) Từ đỉnh A( -4; 3); B(4;3). Ta có a = 4; b=3. PTCT của hypebol là

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ: Hs làm bài tập trước ở nhà

- Thực hiện: Cá nhân làm việc ở nhà

- Báo cáo thảo luận: GV gọi 2 học sinh làm bài, gọi 2 hs nhận xét. Gv đánh giá cho điểm

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv tư vấn, đánh giá sản phẩm và chốt kiến thức.

Hoạt động 3.2: Xác định được các yếu tố đặc trưng của đường conic

a) Mục tiêu: Từ PTCT của đường conic xác định các yếu tố đặc trưng của các đường conic

b) Nội dung: Giải bài 2; 3 sgk trang 67

c) Sản phẩm:

Bài 2a) Phương trình là đường Elip

Ta có

- Tọa độ tiêu điểm:

- Tiêu cự:

- Đoạn là trục lớn; độ dài trục lớn

- Đoạn là trục bé ; độ dài trục bé

- Tâm sai

Bài 2b) Phương trình là đường Elip

Ta có

- Tọa độ tiêu điểm:

- Tiêu cự:

- Đoạn là trục thực; độ dài trục thực

- Đoạn Blà trục ảo ; độ dài trục ảo

- Tâm sai

Bài 3: Từ phương trình parabol

- Tọa độ tiêu điểm

- Phương trình đường chuẩn

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ: Hs làm bài tập trước ở nhà

- Thực hiện: Cá nhân làm việc ở nhà

- Báo cáo thảo luận: GV gọi 3 học sinh làm bài, gọi 3 hs nhận xét. Gv đánh giá cho điểm.

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv tư vấn, đánh giá sản phẩm và chốt kiến thức.

Hoạt động 3.3: Xác định điểm nằm trên loại đường conic nào thông qua số e

a) Mục tiêu: Xác định một điểm nằm trên loại đường conic nào

b) Nội dung: Giải bài tập 4 sgk trang 67

c) Sản phẩm:

Ta có:

Vậy điểm A nằm trên Elip nhận điểm F là tiêu điểm và là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó

Ta có:

Vậy điểm B nằm trên Hypebol nhận điểm F là tiêu điểm và là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó

Ta có :

Vậy điểm C nằm trên Parabol nhận điểm F là tiêu điểm và là đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ: Hs làm bài tập trước ở nhà

- Thực hiện: Cá nhân làm việc ở nhà

- Báo cáo thảo luận: GV gọi 3 học sinh làm bài, gọi 3 hs nhận xét. Gv đánh giá cho điểm.

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv tư vấn, đánh giá sản phẩm và chốt kiến thức

4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu: Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với ba đường conic

b) Nội dung: Vận dụng kiến thức về 3 đường conic giải quyết các bài toán 5, 6, 7 sgk tr 67. Mô tả cho bài toán và trình bày phương án giải quyết

c) Sản phẩm:

Bài 5 trang 67 Chuyên đề Toán 10: Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái Đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm xấp xỉ 1,609 km). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó, biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm. (Nguồn: Sách giáo khoa Hình học 10, Ban Nâng cao, Nhà xuất bản Giảo dục Việt Nam, 2018)

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F₁ của elip.

Khi đó elip có phương trình là

Theo đề bài, ta có: vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm, mà bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm nên vệ tinh cách tâm Trái Đất gần nhất là 583 + 4000 = 4583 dặm và xa nhất là 1342 + 4000 = 5342 dặm.

Giả sử vệ tinh có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách từ vệ tinh đến tâm Trái Đất là: MF₁ =

Vì –a ≤ x ≤ a nên a – c ≤ MF₁ ≤ a + c.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất từ vệ tinh đến tâm Trái Đất lần lượt là a – c và a + c.

Ta có

Bài 6 trang 67 Chuyên đề Toán 10: Sao Diêm Vương chuyển động xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip có một trong hai tiêu điểm là tâm của Mặt Trời. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 10⁶ km và tâm sai e ≈ 0,249. (Nguồn: https://)

Tìm khoảng cách nhỏ nhất (gần đúng) giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip.

Khi đó elip có phương trình là

Theo đề bài, ta có: elip này có bán trục lớn a ≈ 5,906 . 10⁶ km và tâm sai e ≈ 0,249

Giả sử Sao Diêm Vương có toạ độ là M(x; y).

Khi đó khoảng cách giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời là: MF₁ =.

Vì

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa Sao Diêm Vương và Mặt Trời xấp xỉ 4435406 km.

Bài 7 trang 67 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng Δ và điểm O sao cho khoảng cách từ O đến Δ là OH = 1 (Hình 39).

Với mỗi điểm M di động trong mặt phẳng, gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên Δ. Chứng minh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho là một đường parabol.

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho điểm O trùng với gốc toạ độ và trục Ox trùng với đường thẳng OH.

Giả sử M có toạ độ (x; y) thì K có toạ độ là (–1; y).

Khi đó:

Vậy tập hợp các điểm M là parabol có phương trình y² = 2x.

d) Tổ chức thực hiện:

- Chuyển giao nhiệm vụ : Giáo viên chia lớp thành 6 nhóm trao đổi trong khoảng 15’: Nhóm 1,2 giải quyết bài toán 5; nhóm 3, 4 bài toán 6, nhóm 5,6 bài toán 7.

- Thực hiện: Cá nhân chuẩn bị ở nhà đưa ra phương án giải quyết, Tại lớp Các nhóm trao đổi thảo luận , thống nhất câu trả lời. Gv quan sát và hướng dẫn các nhóm khi cần thiết

- Báo cáo, thảo luận: Đại diện các nhóm lên bảng trình bày sản phẩm thảo luận, giải quyết bài toán; các nhóm cùng bài toán nhận xét, gv nhận xét và bổ xung nếu có.

- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Gv tư vấn, đánh giá sản phẩm và chốt kiến thức

Giáo Án Chuyên Đề 3 Ba Đường Conic Và Ứng Dụng Toán 10 Kết Nối

1 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu