Từ kẻ vuông góc với với . Kẻ vuông góc với với .

Ta có .

Lại có và .

Vậy .

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và mặt cầu . Gọi và là hai mặt phẳng chứa đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu lần lượt tại và . Độ dài dây cung có giá trị bằng

A. 4 . B. . C. . D. 1 .

Lời giải

Chọn C

Nếu gọi là hình chiếu vuông góc của tâm lên đường thẳng , thì ta có hình vẽ minh họa hai mặt phẳng và đi qua , tiếp xúc với mặt cầu như sau:

Phương trình tham số đường thẳng ; VTCP của .

Gọi . Suy ra: .

Có .

Độ dài đoạn .

Áp dụng định lý Pythago suy ra: .

Suy ra: .

Câu 45: Để chuẩn bị CSVC phục vụ công tác phòng chống dịch bệnh, các chiến sĩ ở chốt kiểm soát dự định dựng một cái lều trại có dạng như hình vẽ. Biết rằng mặt trước và mặt sau của trại là hai parabol bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau và cùng vuông góc với mặt nền. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước chiều rộng là (lối vào lều), chiều dài là , đỉnh parabol cách nền . Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ

Parabol có đỉnh , đi qua hai điểm và nên có hệ phương trình .

Suy ra .

Diện tích mặt trước của lều trại là

+) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó thể tích phần không gian bên trong lều trại là .

Nhận xét.

Ta có thể dùng công thức tính nhanh

Diện tích phần gạch sọc là: , với là đáy, là chiều cao.

Có .

Coi khối cần tính như khối trụ thì khối có thể tích là .

Câu 46: Xét các số thực dương thỏa mãn . Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức bằng

A. -6 . B. -7 . C. -8 . D. -9 .

Lời giải

Chọn D

Ta có

(1)

Xét hàm số với .

Ta có .

Khi đó (1) .

Nên .

khi

Vậy .

Câu 47: Cho các số phức thỏa mãn . Biết rằng đạt giá trị lớn nhất, tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức .

Từ giả thiết ta có: thuộc đường tròn tâm , bán kính thuộc đường tròn tâm bán kính thuộc đường thẳng (là đường trung trực của đoạn thẳng với .

Ta có , trong đó nằm khác phía đối với (vì hai đường tròn nằm khác phía ).

Gọi đối xứng với qua ; xét đường thẳng qua và vuông góc suy ra ; giao điểm của và là ; hai điểm và đối xứng nhau qua nên . Gọi đối xứng với qua thì thuộc đường tròn tâm , bán kính .

Khi đó: hay .

Dấu đẳng thức xảy ra khi thẳng hàng theo thứ tự đó.

Ta cần tính .

Vì hay .

Phương trình ; vì là giao điểm của hai đường thẳng và .

Ta có: .

Câu 48: Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình dưới. Biết đạt cực trị tại hai điểm thỏa và . Đường thẳng qua điểm uốn của và song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất cắt tại hai điểm khác có hoành độ thỏa mãn . Gọi là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình. Tỉ số gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 32 . B. 31 . C. 30 . D. 29 .

Lời giải

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Ta có: (với

Theo đề bài:

Gọi phương trình đường thẳng .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Theo đề bài:

Với , ta có: (thỏa (*))

và

Khi đó: và .

Vậy tỉ số gần nhất với giá trị 30 .

Câu 49: Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị nguyên của không vượt quá 2024 để hàm số có đúng 1 điểm cực trị?

A. 2 . B. 2026 . C. 2024 . D. 2025 .

Lời giải

Chọn B

Ta có:

Khi đó:

Ta thấy nghiệm của (1) nếu có sẽ khác 0 . Nên là 1 cực trị của hàm số.

Do đó để hàm số có 1 điểm cực trị thì (1) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm

Vậy tập hợp các giá trị thỏa đề là nên có 2026 giá trị .

Câu 50: Trong không gian , cho ba điểm và . Xét các điểm thay đổi sao cho tam giác có và có diện tích bằng 15 . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng thuộc khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có . Do đó điểm thuộc mặt trụ có trục là đường thẳng và có bán kính (1)

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng , ta có . Dễ thấy nếu không thuộc đoạn thì (không thỏa mãn giả thiết). Do đó thuộc đoạn . Đặt ta có ; .

Hơn nữa, ta có nên , suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểm thuộc hình trụ có trục là đoạn , bán kính (như hình vẽ) với .

Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , ta có . Do đó nằm ngoài hình trụ.

Ta có khoảng cách từ đến mặt phẳng chứa hình tròn đáy lớn hơn khoảng cách từ đến mặt phẳng chứa hình tròn đáy nên ta tìm điểm thuộc hình tròn đáy sao cho . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng chứa hình tròn đáy của hình trụ. Kẻ cắt tại , với nằm ngoài đoạn (như hình vẽ). Ta có .

Dễ thấy là khoảng cách lớn nhất từ một điểm thuộc hình trụ đến điểm .

Do đó .

Đề Ôn Thi Toán Tốt Nghiệp THPT Năm 2024 Bám Sát Minh Họa Giải Chi Tiết - Đề 17

3 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu