PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN

CỤM: LIÊN - TIẾN – TÂN – THANH

( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LẦN 3

MÔN: TOÁN 6

Năm học: 2023 - 2024

Ngày thi: 29 tháng 02 năm 2024

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI:

Câu 1 (4,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau một cách hợp lý:

a) 53.39 + 47.39 – 53.21 – 47.21 b) B = 2³.5³ – 3.{539 – [639 – 8.(7⁸: 7⁶ + 2017⁰)]}

c) C = d) D =

Câu 2 (4,0 điểm).

1) Tìm x, biết:

a) 2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 960 - 2^{x + 3}

2) Một hiệu sách có năm hộp bút bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc. Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì?

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) = 15 và a + 15 = b.

b) Tìm số nguyên tố ( a > b > 0 ), sao cho là số chính phương

Câu 4 (6,0 điểm).

1) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài , chiều rộng . Người ta trồng một vườn hoa hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là . Tính độ dài đường chéo , biết .

2) Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi là 60cm và chiều dài AB gấp rưỡi chiều rộng BC. Lấy một điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2.MC. Nối A với M kéo dài cắt DC kéo dài tại điểm E. Nối B với E. Nối D với M.

a) Tính diện tích hình chữ nhật .

b) Chứng tỏ rằng tam giác và tam giác có diện tích bằng nhau.

3) Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết tất cả có 105 đường thẳng. Tính n.

Câu 5 (2,0 điểm).

1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: Chứng minh rằng:

2) Cho các số là các số nguyên và cũng là các số nguyên đó nhưng lấy theo thứ tự khác. Chứng minh rằng là số chẵn.

Họ và tên thí sinh:...................................................... Số báo danh:...........................

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi: TOÁN 6

Câu

Nội dung cần đạt

Điểm

Câu 1

4 điểm

a) 53(39– 21) +47.(39 – 21)

= 53 . 18 + 47.18

= 18 (53 + 47)

= 18.100 = 1800

0,25đ

b) B = 2³.5³ – 3.{539 – [639 – 8.(7⁸: 7⁶ + 2017⁰)]}

B= 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(7² + 1)]}

B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]}

B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]}

B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]}

B = 1000 – 3.{539 – 239}

B = 1000 – 3.300

B = 1000 – 900

B = 100

0,25đ

c) Tính C =

C =

0,5đ

d) D =

D =

0,25đ

Câu 2

4 điểm

a) 2^x + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 960 - 2^{x + 3}

2^x (1 + 2 + 2² + 2³) = 960

2^x .15 = 960

2^x = 64

2^x = 2⁶

x = 6

0,25đ

b) Vì

Nên ta có

20 - [ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 19

[ 2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 20 - 19

[2,04 : (x + 1,05)] : 0,12 = 1

2,04 : (x + 1,05) = 1 . 0,12

x + 1,05 = 2,04 : 0,12

x + 1,05 = 17

x = 17 - 1,05

x = 15,95

0,25đ

2) Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là:

78+ 80+ 82+ 114+ 128 = 482 (chiếc)

Vì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và và bút chì còn lại là số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2.

Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2 .

Vậy hộp bút chì bán đi là Hộp 3: 82 chiếc.

Số bút bi và bút chì còn lại là : 482 - 82= 400 (chiếc)

Số bút chì còn lại : 400:5 = 80(chiếc)

Vậy: Các hộp đựng bút chì là: Hộp 2 ; Hộp 3 .

Các hộp đựng bút bi là: Hộp 1; Hộp 4; Hộp 5

0,5đ

0,25đ

Câu 3

4 điểm

a) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :

+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

a = 15m; b = 15n (1)

và ƯCLN(m, n) = 1 (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).

a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75

0,5đ

0,25đ

0,5đ

b) Ta có :

Vì a,b => 1 £ a- b £ 8

Để là số chính phương thì a – b = 1; 4

+) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21

Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn

+) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51

Vì là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn

Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73

0,25đ

0,5đ

0,25đ

Câu 4

6 điểm

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là:

Diện tích phần trồng hoa hình thoi là:

Độ dài đường chéo là:

0,5đ

a) Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là

Vì chiều dài gấp rưỡi chiều rộng nên chiều dài là

Ta có

hay

Diện tích của hình chữ nhật là:

b) Ta có (vì có chiều cao hạ từ lên đáy bằng chiều cao của tam giác hạ từ B lên đáy , đáy )

Ta có (vì có chiều cao , chung đáy )

Do đó hay

0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,5đ

3) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n điểm còn lại ta được n – 1 đường thẳng.

Làm như vậy với n điểm ta được n(n – 1) đường thẳng.

Nhưng mỗi đường thẳng lại được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n(n – 1): 2 đường thẳng.

Theo bài ra có 105 đường thẳng, do đó: n(n – 1): 2 = 105

n(n – 1) = 105.2

n(n – 1) = 210

n(n – 1) =2.3.5.7

n(n – 1) = 15.14

Vậy n = 15

0,25đ

Câu 5

2 điểm

a) Ta có .

Suy ra:

Đặt M =

Ta có: Do đó:

0,25đ

b) Xét tổng

Nếu cả 7 số đều lẻ thì tổng của chúng là số lẻ và do đó khác 0 (lẻ đối nhau vẫn có thể bằng 0)

Suy ra có ít nhất một trong 7 số là số chẵn

là số chẵn.

Ta có hiệu khác tính chẵn lẻ sẽ là một số lẻ.

Không mất tính tổng quát nếu ta giả sử là các hiệu khác tính chẵn lẻ, nên tích trên là số lẻ Þ a và b sẽ cùng tính chẵn lẻ, hay là số chẵn.

Vậy là số chẵn.

0,25đ

Lưu ý: - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 đ;

- HS làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

Đề Giao Lưu HSG Toán 6 Liên Trường Huyện Nga Sơn 2023 - 2024 Lần 3

0 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu