Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với .

Ta có: .

Vậy ngũ giác là thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Chú ý:Mấu chốt của ví dụ trên là việc dựng được điểm là giao điểm của với (thông qua việc dựng giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng ). Có thể dựng thiết diện trên bằng nhiều cách với việc dựng giao điểm (khác ) của một trong các đường thẳng ; hoặc với một mặt của hình chóp. Sau đây, tôi xin trình bày cách hai, điểm mấu chốt là xác định giao điểm của với mặt phẳng .

Cách 2:

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với .

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với , .

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với .

Ta có: .

Vậy ngũ giác là thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Câu 70. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng có thể là:

A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác.

Lời giải

Chọn B.

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và .

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1:

Trong mặt phẳng , cắt tại và cắt đoạn tại .

Ta có nên là giao điểm của với ,

nên là giao điểm của với .

Ta có

Suy ra tứ giác là thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Trong mặt phẳng , cắt tại và cắt đoạn tại (cắt tại một điểm nằm ngoài đoạn ).

Trong mặt phẳng :

Nếu song song với thì ta có: . Gọi là giao điểm của với .

Áp dụng định lí Menelaus vào các tam giác và ta có

. Điều này chỉ xảy ra khi thuộc đoạn (vô lí)

Do vây cắt , giả sử tại .

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với .

Ta có

Suy ra ngũ giác là thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng hoặc là tứ giác hoặc là ngũ giác.

Câu 71. Cho hình chóp là trung điểm của thuộc SC sao cho là một điểm thuộc miền trong tam giác . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là:

A. Tam giác, tứ giác. B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác.

Lời giải

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với . Trong mặt phẳng , gọi là giáo điểm của với .

Trong mặt phẳng , có hai khả năng xảy ra như sau:

Trường hợp 1: cắt đoạn tại .

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với . Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với .

Ta có

Trường hợp này, ngũ giác là thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Trường hợp 2: cắt tại ( không cắt đoạn ).

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với ( không thể cắt đoạn vì giả sử ngược lại cắt cạnh tại , khi đó sẽ cắt cạnh (vô lí vì đã cắt cạnh )).

Khi đó

Trường hợp này, tứ giác là thiết diện của hình chóp cắt bởi .

Câu 72. Cho tứ diện có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho . Gọi M là trung điểm của đoạn Diện tích S thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với .

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và .

Ta có: .

Do đó tam giác là thiết diện của tứ diện cắt bởi .

Dễ thấy lần lượt là trọng tâm của các tam giác và .

Ta có: .

Xét hai tam giác và có chung, nên hai tam giác này bằng nhau. Suy ra . Vậy tam giác cân tại .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác :

Gọi là trung điểm của đoạn . Ta có .

Suy ra: .

Diện tích thiết diện là: .

Câu 73. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên tương ứng tại các điểm . Gọi . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C.

Xét trường hợp đặc biệt lần lượt là trung điểm của Khi đó ta dễ dàng loại được đáp ánD.

Dựng

Theo định lý Thales, ta có:

Như vậy, ý B bị loại.

Tương tự, ta chứng minh được

Từ đây ta thấy ngay ý C bị loại và A là đáp án A là đáp án lựa chọn.

Chú ý: Cho tam giác Gọi O là trung điểm AC, M, N là hai điểm nằm trên cạnh MN cắt BO tại I. Khi đó: .

Câu 74. Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của và là điểm thuộc cạnh ( không là trung điểm ). Gọi là giao điểm của với là giao điểm của với . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. . B. . C. D. .

Lời giải

Chọn A.

Do tứ diện ABCD có 4 mặt nên thiết diện không thể là ngũ giác hay lục giác. Nó chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác.

Trong mp , gọi (P không phải là trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC)

Trong mp, gọi

Do nên

Ta có:

Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác

Ta chọn đáp án B.

do đồng phẳng nên

(Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).Từ đây suy ra

Giả sử . Khi đó ta suy ra

Suy ra

Do J là trung điểm của PQ.

Ta có:

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Từ (1,2,3) suy ra . Điều này dẫn đến M, N, J thẳng hàng. Như vậy I trùng J.

Điều này suy ra .

Câu 75. *Cho hình chóp với đáy là đa giác lồi Trên tia đối của tia lấy điểm là các điểm nằm trên cạnh . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng là:

Các Dạng Toán Trắc Nghiệm Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

0 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu