Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên nên hai đường tròn và tiếp xúc trong.

Bài 5: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng qua A cắt tại B và cắt tại C. Chứng minh rằng

Lời giải

Xét cân tại nên

Mà (hai góc đối đỉnh) nên

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên suy ra .

Bài 6: Cho hai đường tròn và cắt nhua tại , , điểm nằm trong đường tròn tâm

a) Vẽ đường tròn

b) Đường tròn có đi qua hai điểm và hay không? Vì sao?

Lời giải

b) Đường tròn và cắt nhau tại ,

Điểm nằm trong đường tròn tâm nên ,

Suy ra . Do đó đường tròn đi qua hai điểm và .

Bài 7: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại và , . Gọi , lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng .

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng và

b) Điểm có phải là trung điểm của đoạn thẳng hay không?

c) Tính độ dài của đoạn thẳng .

Lời giải

a) Hai đường tròn và cắt nhau tại và nên ,

b) , . Suy ra

Điểm là trung điểm của đoạn thẳng

c) Ta có: nên .

Bài 8: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn và

Lời giải

Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có , , thẳng hàng và

Từ đó suy ra tiếp xúc trong với tại .

Bài 9: Cho hai đường tròn và . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB (; ). Tính độ dài đoạn thẳng AB nếu

Kẻ tại tứ giác là hình chữ nhật

Áp dụng định lí pythagore vào tam giác ta có:

Vậy .

Bài 10: Cho ba điểm , , thẳng hàng theo thứ tự đo và dựng các đường tròn đường kính , . Từ vẽ tiếp tuyến với đường tròn đường kính ( là tiếp điểm), tiếp tuyến cắt đường tròn đường kính tại . Chứng minh rằng tia là tia phân giác của góc .

Lời giải

Kẻ tiếp tuyến chung ; cắt tại .

Vì thuộc đường tròn đường kính nên

Vì là tiếp tuyến của đường tròn đường kính tại nên tại hay

Từ và suy ra (cùng phụ với ) hay

Vì , là hai tiếp tuyến của đường tròn đường kính nên

Suy ra cân tại

Do đó

Mà (tính chất góc ngoài của tam giác )

Nên , do đó là tia phân giác của

Bài 11: Cho hình vuông , lấy điểm bất kì trên đường chéo . Vẽ đường tròn qua và tiếp xúc với tại , vẽ đường tròn qua và tiếp xúc với tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại điểm thứ hai

a) Chứng minh rằng là tiếp tuyến của đường tròn và là tiếp tuyến của

b) Khi di động trên , tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn theo cạnh hình vuông .

Lời giải

a) Vì là tiếp tuyến của đường tròn nên tâm của phải nằm trên đường thẳng vuông góc với tại .

Mà tại (vì là hình vuông) nên thuộc .

Vì thuộc nên cân tại

vuông tại

hay

Từ đó suy ra tứ giác là hình chữ nhật

Vì (ccc) nên

là tiếp tuyến của và là tiếp tuyến của .

b) Vì tứ giác là hình chữ nhật nên

nhỏ nhất nhỏ nhất tại là giao điểm của và .

Do đó (với )

Khi là tâm hình vuông .

Bài 12: Cho và và . Dựng tiếp tuyến chung trong của và

Lời giải

Dựng điểm I là điểm chia trong của đoạn với tỉ số , tức là nằm trong đoạn và hay

+ Dựng đường tròn đường kính , đường tròn này cắt đường tròn tại và

+ Dựng đường thẳng và là hai tiếp tuyến chung trong cần dựng.

Bài 13: Cho đường thẳng . Lấy điểm thuộc , vẽ hai nửa đường tròn và (với ) trên cùng một nửa mặt phẳng bờ . Chứng minh điều kiện cần và đủ để có hai điểm , D thuộc và hai điểm thuộc sao cho là một hình vuông là

Lời giải

Kẻ tại ; cắt BC tại H, cắt AD tại K

Ta có: (với )

Vì nên

Do đó để tồn tại hình vuông ABCD thì phải tồn tại (*) phải có nghĩa hay

Kết hợp với điều kiện , ta có .

Bài 14: Cho hai đường tròn tâm và tâm tiếp xúc ngoài tại . Tiếp tuyến chung ngoài có tiếp điểm với hai đường tròn lần lượt ở và . Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn tại cắt tại

a) Chứng minh tam giác và là các tam giác vuông

b) Xác định vị trí tường đối của đường thẳng với đường tròn đường kính

c) Tính biết bán kính của hai đường tròn tâm và lần lượt bằng và .

Lời giải

a) Ta có: và

nên

Tam giác là tam giác vuông ở đỉnh

Do đó và lần lượt là phân giác của hai góc kề bù và nên

Tam giác vuông tại đỉnh

b) Gọi là trung điểm của thì , nên là bán kính của đường tròn qua ba điểm

Mặt khác tứ giác là hình thang, là đường trung bình của hình thang này, do đó

Vậy đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn qua ba điểm tại điểm

c) Tam giác vuông tại ta có đường cao , nên ta có:

Diện tích tam giác là: .

Bài 15: Cho đường tròn đường kính và là điểm nằm giữa và . Vẽ đường tròn tâm có đường kính

a) Xét vị trí tương đối của và

b) Kẻ dây của vuông góc với tại trung điểm của . Tứ giác là hình gì?

c) Gọi là giao điểm của đoạn thẳng và . Chứng minh ba điểm thẳng hàng

d) Chứng minh là tiếp tuyến của

Lời giải

a) Ta có và tiếp xúc trong với nhau

b) Tứ giác là hình thoi

c) Có: ,

mà thẳng hàng

d) Ta có:

Bài 16: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc và lần lượt ở và . Tiếp tuyến chung trong cắt ở . Gọi thứ tự là giao điểm của với của với

Các Dạng Toán 9 Bài 17 Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn

0 giây trước

Xem tiếp toàn bộ tài liệu