Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 88)

Cho tam giác ABC vuông tại A trung tuyến AD. Kẻ DM vuông góc AB (M thuộc AB), kẻ DN vuông góc AC (N thuộc AC).

a) ANDM là hình gì?

b) Lấy E đối xứng Dqua M. Chứng minh rằng AE//MN.

c) D nằm ở vị trí nào trên cạnh BC để ANDM là hình chữ nhật.

Một xuồng máy đi trong nước yên lặng với v = 36km/h. Khi xuôi dòng từ A đến B mất 2 giờ, ngược dòng từ B đến A mất 3 giờ. Tính quãng đường AB.

Cho ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F, trên AB lấy điểm E sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD.

a) Chứng minh DC vuông góc với BC.

b) Gọi I là giao điểm EF và BC. Chứng minh \(AI=\frac{1}{2}DB\).

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết AB = AC = 4cm.

a, Tính BC.

b, Từ A kẻ AD vuông góc BC tại D. Chứng minh D là trung điểm BC.

c, Từ D kẻ DE vuông góc AC tại E. Chứng minh tam giác AED vuông cân.

d, Tính AD.

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác.

a) Tính độ dài BI.

b) Đường vuông góc với BI tại I cắt BC tại M. Chứng minh: BM = MC.

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lền lượt tại D và E.

a, Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng.

b, Các tuyến tiếp của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC.

c, Cho AB = 8cm, AC = 9cm. Tính diện tích tứ giác MDEN.

Cho tam giác ABC có Cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự tại M và N. Tính theo a độ dài các đoạn thẳng DM và EN.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 12cm, BC = 20cm. Tính AC, BH, CH, AH?

Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính: \(\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}\).

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC:

a) Chứng minh: AB² + CH² = AC² + BH².

b) Trên AB lấy E, trên AC lấy điểm F. Chứng minh: EF < BC.

c) Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH, CH.

Cho tam giác ABC cân. Gọi M là trung điểm của đường cao AH, D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh: \(AD=\frac{1}{3}AB\).

Cho tam giác ABC có BA = 8, AC = 9. BC = 10. Một điểm M nằm trên BC sao cho BM = 7. Tính AM.

Cho tứ giác ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AF, CE, BF và DE. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AH : AC = 3: 5 và AB = 15cm.

a) Tính HB, HC.

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh AB.AC = EF.BC.

Cho tam giác DEF cân tại D. Trên DE lấy điểm M, trên DF lấy điểm N sao cho DM = DN. Chứng minh tứ giác MNFE là hình thang cân.

Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy 2 điểm MN sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).

c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).

Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E là trung điểm BC, điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CM}\).

B. \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{ED}\).

C. M là trung điểm BC.

D. \(\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{BD}\).

Cho tia Ox, vẽ hai tia Oy và Ot nằm cùng phía với đường thẳng chứa tia Ox sao cho: \(\widehat{xOy}\text{=30}°\text{;}\widehat{xOt}\text{=70}°\).

a) Tính \(\widehat{yOt}\)? Tia Oy có là tia phân giác của \(\widehat{xOt}\)không? Vì sao?

b) Gọi tia Om là tia đối của tia Ox. Tính số đo của \(\widehat{mOt}\)?

c) Gọi Oz là tia phân giác của \(\widehat{mOt}\). Hỏi tia Oz có vuông góc với tia Oy không?

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MD⊥BC (D∈ BC).

a) Chứng minh BA = BD.

b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ΔABC = ΔDBE

c) Kẻ DH⊥ MC (H∈ MC) và AK⊥ ME (K ∈ ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác góc \(\widehat{HMK}\).

d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm, AC = 4cm. Hãy giải tam giác ABC.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 4 cm, CH = 9cm. a) Tính AH, AB, AC?

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính góc \(\widehat{BMC}\).

Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{D}+\widehat{C}=90°\). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.

Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.

Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính độ dài \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\).

Cho tam giác đều ABC cạnh a, gọi G là trọng tâm. Khi đó giá trị \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|\)?

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AH = 6cm và BC = 13cm. Tính AB, AC.

Cho tứ giác ABCD, tìm điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{MA\text{ }}–\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{CD}.\)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và các trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh: \(cotC+cotB\ge \frac{2}{3}\).

Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi E là hình chiếu của H trên AB.

a. Biết AE = 3,6 cm; BE = 6,4 cm. Tính AH, EH và góc \(\widehat{B}\)(Số đo góc làm tròn đến độ)

b. Kẻ HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh AB.AE = AC.AF.

c. Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại D; EF cắt AH tại O.

Chứng minh rằng \({S}_{ADC}=\frac{{S}_{AOE}}{{\mathrm{sin}}^{2}B.{\mathrm{sin}}^{2}C}\).

Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M là trung điểm BC.

Tính \(\left|\frac{3}{4}\overrightarrow{MA}-\mathrm{2,5}\overrightarrow{MB}\right|\).

Cho ΔABC, góc ngoài đỉnh C có số đo bằng 100°, \(3\widehat{A}=2\widehat{B}\).

a, Tính góc \(\widehat{B},\widehat{A}\).

b, 2 tia phân giác Ax và By của các góc A, B cắt nhau tại O, tính góc \(\widehat{BOA}\).

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. AH là đường cao.

a) Tính BH, CH, AC và AH.

b) Tính các góc B và C của tam giác ABC.

c) Gọi M là trung điểm của BC tính diện tích tam giác AHM.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = b, AB = c. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho \(\widehat{BAM}=30°\). Tính tỉ số \(\frac{MB}{MC}\).

Cho hai tập hợp A={1;2;3} và B ={1;2;3;4;5}. Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn A ⊂ X ⊂ B?  

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M thuộc cạnh BC. Chứng minh MB² + MC² = 2MA².

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho \(\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{HC}\). Điểm M di động nằm trên BC sao cho \(\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BC}\). Tìm x sao cho độ dài của \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GC}\)đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Chứng minh:

a) ∆OAB = ∆ODC.

b) \(\widehat{ACD}=90°\).

c) BC = 2 OA.

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=45°;\widehat{C}=30°\) và c = 12. Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) có đường cao AH. Gọi AD là phân giác của \(\widehat{HAB}\).

a) Tính cạnh AH, AC biết HB = 18cm, HC = 8cm.

b) Chứng minh tam giác ADC cân và HD.BC = BD.DC.

c) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

Chứng minh S_AEF = S_ABC.(1 - cos²B).sin²C.

Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D. Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A kẻ các tia Cx // AB, Dy // AC. Hai tia này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ECD đều.

b) AD = BE.

Cho tứ giác lồi ABCD với hai cặp cạnh đối không song song và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).

Cho tam giác ABC đều cạnh a, tính \(\left|\overrightarrow{CB}\right|\).