Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 59)

Cho (O, R), lấy điểm A cách O một khoảng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Chứng minh tam giác OBA vuông tại B và tam giác OAK cân tại K.

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 6x + 3}}{{{x^2} - 3x + 2}}.\)

Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC. Trong tam giác BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau tại I. Tìm thiết diện của tứ diện với (HKM) trong hai trường hợp:

a) I nằm ngoài đoạn CD.

b) I nằm trong đoạn CD.

Phương trình \(\left( {{2^x} - 5} \right)\left( {{{\log }_2}x - 3} \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\) Tính giá trị của biểu thức \(K = {x_1} + 3{x_2}.\)

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển (x³ + xy)²¹.

Một tam giác ABC có số đo góc đỉnh A là \(60^\circ .\) Biết số đo góc B là một nghiệm của phương trình \({\sin ^2}4x + 2\sin 4x.\cos 4x - {\cos ^2}4x = 0.\) Tìm số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tìm tất cả các số a trong khai triển của (1 + ax)(1 + x)⁴ có chứa số hạng 22x³.

Người ta dùng 100m rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh vườn để có thể rào được.

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 1.\) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A, với A(2, 3).

Tìm x, biết: \(3\sqrt {x - 2} - \sqrt {{x^2} - 4} = 0.\)

Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm MP, NQ. Chứng minh IJ // AE và AE = 4IJ.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x⁴ – 10x² + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({4^{x\, + \,1}} - {2^{x\, + \,2}} + m = 0\) có nghiệm.

Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng số chấm hai mặt xuất hiện bằng 7.

b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.

Biết phương trình \(\log _2^2x - 2{\log _2}\left( {2x} \right) - 1 = 0\) có hai nghiệm x₁, x₂. Tính x₁x₂.