Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 76)

Thực hiện phép tính:

a) 483 + (−56) + 263 + (−64)

b) 371 + (−531) + (−271) + 731

c) 3251 − 243 − 3250

d) 279 − (145 + 279)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD.Mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc bằng 60°.Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).

Một cửa hàng bán vải được 2 160 000 đồng. Tính gia cửa hàng lãi 8% so với tiền vốn. Hỏi số tiền lãi là bao nhiêu tiền?

Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO =a. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

Không thực hiện phép tính,so sánh các tính sau rồi điền dấu >, < hoặc = và viết vào chỗ chấm cho thích hợp:

a) 357,32× 0,34 ....... 35,732 × 3,4; vì ............

b) 491,5× 0,05 ....... 4,915 × 5; vì...............

Cho f(x) = −x² − 2(m − 1)x + 2m − 1.

Tìm m để bất phương trình f(x) > 0 đúng với mọi x thuộc (0; 1)

Hàm số y = cos 2x nghịch biến trên khoảng nào?

Biết đồ thị hàm số y = (k − 3)x − 4 cắt đường thẳng y = −3x + 2 tại điểm có tung độ bằng 5. Tìm tham số k

Tìm m để bất phương trình 2x² − (2m + 1)x + m² − 2m + 2 ≤ 0 nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {\frac{1}{2};\;2} \right]\)

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \)theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \)và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \)qua \(\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} \).

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \)theo hai vectơ\(\overrightarrow {AI} ,\;\overrightarrow {AJ} \).

Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không song song. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).

b) Chứng minh MN // (ABCD).

c) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với (AMN).

Cho phương trình: x² − (m − 2)x− m − 1 = 0 (với m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

b) Tìm m thỏa mãn hệ thức: (x₁ − x₂)² − 3x₁x₂= 21

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Cho tam giác ABC.Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Hãy phân tích \(\overrightarrow {AI} \)qua hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)

Cho 2 số dương x, y thay đổi thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của biểu thức:\(M = \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{{2x + y}}\).

Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tamgiác đều cạnh a; SA ^ (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Alên SB; SC. Tính diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, K, H.

Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất |z|.

Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Diện tích toàn phần S_tp của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho là bao nhiêu?

Tìm x biết |x − 1| =3x + 2.

Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy C₁, A₁, B₁ sao cho các đường thẳng AA₁, BB₁, CC₁, đồng quy tại O. Đường thẳng qua O // AC cắt A₁B₁, B₁C₁, tại K và M tương ứng. CMR: OK = OM 

Thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60 m, chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài. Trung bình cứ 100 mét vuông thì thu hoạch được 50 kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

\(\frac{{ab}}{{a + b - c}} + \frac{{bc}}{{b + c - a}} + \frac{{ca}}{{c + a - b}} \ge a + b + c\)

Cho a ≥ 1; b ≥ 9; c ≥ 16 thỏa mãn a.b.c = 1 152. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = bc\sqrt {a - 1} + ca\sqrt {b - 9} + ab\sqrt {c - 16} \).

Chứng minh 4x − 10 − x² luôn luôn âm với mọi x.

Hàm số y = cos 2x đồng biến trên khoảng nào?

Cho B = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh B chia hết cho 13.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy.

Tìm ba số, biết tổng thứ nhất và thứ hai bằng 182. Tổng của số thứ hai và thứ ba bằng 176, tổng của số thứ ba và số thứ nhất bằng 188.

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh:

\(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).

Cho x, y,z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh: 

\(\frac{x}{{x + \sqrt {3x + yz} }} + \frac{y}{{y + \sqrt {3y + zx} }} + \frac{z}{{z + \sqrt {3z + xy} }} \le 1\).

Cho hai đường tròn (O) và (O¢) cắt nhau tại A và B như hình bên. Biết OA =15cm, O¢A = 13cm, AB = 24cm. Tính độ dài OO¢.

Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và \(\widehat A = 60^\circ .\) Tính độ dài cạnh BC.

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1,2,3 luôn đứng cạnh nhau.

Cho B=3 + 3² + 3³ + ... + 3¹²⁰. Chứng minh:

a) B chia hết cho 3;

b) B chia hết cho 4;

c) B chia hết cho 13.

Tìm GTNN của B = 2x²+3y²+4xy − 8x − 2y + 18

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều dài bằng \(\frac{3}{2}\) chiều rộng, trên thửa ruộng đó người ta trồng lúa cứ 100m²thu hoạch được 50 kg. Hỏi trên cả thửa ruộng thu hoạch được bao nhiêu tạ thóc?

Cho x² + y² + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của: A = x² − xy + 2y²

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+ z = 1. Tìm GTLN của biểu thức:\(P = \sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {2{y^2} + y + 1} + \sqrt {2{z^2} + z + 1} \).

Cho các số dương x, y,z thoả mãn x+y+z=3.Tìm GTLN của 

\(B = \sqrt {\frac{{xy}}{{xy + 3z}}} + \sqrt {\frac{{yz}}{{yz + 3x}}} + \sqrt {\frac{{zx}}{{zx + 3y}}} \).