Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 59) - Phần 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB và AC. Chứng minh: ADME là hình chữ nhật.

Cho tam giác ABC thỏa mãn a⁴ = b⁴ + c⁴. Chứng minh rằng:

Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.... + 99.100.

Một lớp học có 3 tổ học sinh cùng thu nhặt giấy vụn. Tổ 1 và tổ 2 thu được 25,5 kg. Tổ 1 và tổ 3 thu được 36,2 kg .Tổ 2 và tổ 3 thu được 24,5 kg. Hỏi lớp đó mỗi tổ thu được bao nhiêu kg giấy?

Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Lan. Sau 15 năm nữa tuổi mẹ gấp đôi tuổi Lan. Tính tuổi mẹ hiện nay.

Tìm số tự nhiên x biết x chia hết cho 5,6,9 và x nằm trong khoảng 300 đến 400.

Tìm hiệu của hai số, biết rằng nếu số bị trừ bớt đi 735 đơn vị và thêm vào số trừ 265 đơn vị được hiệu mới bằng 12000.

Phân tích đa thức thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 120.

Một mảnh vườn hình chữ nhật được vẽ trên bản đồ tỉ lệ 1 : 500 có chiều dài là 8 cm, chiều rộng 6 cm. Diện tích của mảnh vườn là bao nhiêu theo đơn vị ha ?

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?

Cho hình chữ nhật có chu vi là 172 cm, biết nếu giảm chiều dài 5 cm và tăng chiều rộng 5 cm thì nó trở thành hình vuông. Tìm diện tích của hình chữ nhật.

Cho đường tròn (O; 4 cm), đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AO sao cho OH = 1 cm. Kẻ dây cung DC vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh △ABC vuông và tính độ dài AC.

b) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại E. Chứng minh tam giác CBE cân và \(\frac{{EC}}{{DH}} = \frac{{EA}}{{DB}}\).

c) Gọi I là trung điểm của EA; đoạn IB cắt (O) tại Q. Chứng minh CI là tiếp tuyến của (O) và từ đó suy ra \(\widehat {ICQ} = \widehat {CBI}\).

d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt IC tại F. Chứng minh ba đường thẳng IB, HC, AF đồng quy.

Người ta pha sơn đỏ với sơn trắng theo tỉ lệ 3 : 1. Hỏi đã dùng bao nhiêu lít sơn đỏ để pha, biết rằng sau khi pha, được tất cả 28 lít sơn.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = \(\left| {{x^4} - 2m{x^2} + 64x} \right|\)có đúng ba điểm cực trị?

Giải phương trình: (x + 2)(x² – 2x + 4) + x(x – 2)² = 32.

Một người đi xe máy từ tỉnh A và một người đi xe đạp từ tỉnh B. Hai tỉnh cách nhau 80km. Nếu họ đi gặp nhau thì mất 2 giờ. Nếu họ đi cùng chiều thì xe máy đuổi kịp người đi xe đạp sau 4 giờ. Tính vận tốc của mỗi người. Biết rằng họ cùng khởi hành một lúc.

Chứng minh rằng B = 5⁰ + 5¹ + … + 5²⁰¹¹ chia hết cho 6.

Phân tích đa thức thành nhân tử: a⁴ + b⁴ + c⁴ – 2a²b² – 2b²c² – 2c²a².

Cho tam giác ABC có BC = 12cm, \(\widehat B\)= 60°, \(\widehat C\)= 40°. Tính: Đường cao CH và cạnh AC.

Một tổ làm đường có 15 người dự định làm xong 1 đoạn đường trong 8 ngày. Nhưng sau khi làm được 4 ngày thì có 5 người chuyển đến làm cùng. Hỏi sẽ làm xong đoạn đường sớm hơn dự định bao nhiêu ngày? Biết mức làm mỗi người là như nhau.

Để lát nền một căn phòng, người ta dùng hết 600 viên gạch hình vuông có cạnh là 30cm. Tính diện tích căn phòng theo m²?

Tìm y biết (72000 : y) : 60 = 5

Chứng minh rằng: Với bất kỳ bộ 3 số tự nhiên liên tiếp nào thì tích của số thứ nhất và số thứ 3 cùng bé hơn bình phương của số thứ hai 1 đơn vị.