Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 35) - Phần 1

Cho biểu thức: \(A = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\).

a. Rút gọn A.

b. Tìm x để A < 1.

Cho hình bình hành ABCD và 1 điểm M tùy ý. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} \).

Giải phương trình: \({x^2}\) – 5x + 6 = 0.

Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2cosx + \(\sqrt 2 \).

Hình vuông có cạnh bằng 2 thì đường chéo hình vuông đó bằng bao nhiêu?

Cho ∆ABC với các cạnh AB = c, BC = a, AC = b, G là trọng tâm. Chứng minh \(G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\).

Cho tana = 2. Tính giá trị của biểu thức \(C = \frac{{\sin a}}{{{{\sin }^3}a + 2{{\cos }^3}a}}\).

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({x^4}\left( {y - z} \right) + {y^4}\left( {z - x} \right) + {z^4}\left( {x - y} \right)\).

Chứng minh phương trình sau có nghiệm: \({x^3} - 2x - 1 = 0\).

Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 12cm, AC = 16cm, vẽ đường cao AH.

a, Chứng minh: ∆HBA ∆ABC.

b, Tính BC.AH.

c, Trong ∆ABC, kẻ phân giác AD (D ∈BC). Trong ∆ADB kẻ phân giác DE (E ∈ AB). Trong ∆ADC kẻ phân giác DF(F ∈ AC). Chứng minh: \(\frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{DB}}{{DC}}.\frac{{FC}}{{FA}} = 1\) .

Cho ∆ABC có các góc thỏa mãn \(\frac{{\sin A}}{1} = \frac{{\sin B}}{2} = \frac{{\sin C}}{3}\). Tính số đo các góc của tam giác.

∆ABC có AB = 2 cm, AC = 1 cm, \(\widehat A = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh BC.

Hãy tính dãy số sau đây: 1 + 2 + 3 +....+ 99 ?

Cho ∆MNP. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của MN, NP, PM.

a. Chứng minh tứ giác MDEF là hình bình hành.

b. ∆MNP có điều kiện gì thì tứ giác MDEF là hình chữ nhật.

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: \({x^2} - 4{y^2} - x - 2y\).

Giải phương trình: sinx = cos3x.

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.

a. Chứng minh rằng CD ⊥ AB, BE ⊥ AC.

b. Gọi K là giao điểm của BE, CD. Chứng minh AK ⊥ BC.

Giải phương trình: cos2x – 3cosx + 2 = 0.

Cho \(P = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\) với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9.

a. Rút gọn P.

b. Tìm x ∈ ℤ để P ∈ ℤ.

Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh rằng: \({a^2} + 5{b^2} - 4ab + 2a - 6b + 3 > 0\).

Giải phương trình: cos4x + cos2x + 1 = 0.

Giải phương trình: \(2{\sin ^2}x - \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2\).

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) : x – 5y + 6 = 0 và trục hoành.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\left( {m + 1} \right)\sin x + 2 - m = 0\) có nghiệm ?