Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 18)

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 7x²y − 14xy²+21x

b) 2x(x − y)+3y(y − x)

c) 6x(x − 3)+2x − 6

d) 4x(x − y)²+3x − 3y

Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn(A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt C và D(C nằm giữa M và D)

a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp

b) Chứng minhMA²=MC.MD

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD luôn đi qua điểm cố định khác O

Cho phương tình 3x − 2y = 6. (1)

a) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1);

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).

Cho đường tròn (O), đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên đường tròn (M khác A,B) vẽ tiếp tuyến thứ ba nó cắt Ax ở C cắt By ở D. Gọi Nlà giao điểm của BC và AD.

a) CMR: \(\frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\).

b) CM: MN ^ AB.

c) CMR: \(\widehat {COD} = 90^\circ \).

Cho đường thẳng (d): y = x − 2. Điểm A nằm trên (d) có hoành độ và tung độ đối nhau sẽ có tọa độ là (a; b).

Khi đó, a.b = …

Tìm x, biết:

a) \(\left| {x - 1,7} \right| = 2,3\).

b) \(\left| {x + \frac{3}{4}} \right| - \frac{1}{3} = 0\).

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB; Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn lấy điểm D (D khác A,B). Tiếp tuyến tại D của (O) cắt Ax ở S.

a) Chứng minh SO//BD.

b) BD cắt AS ở C. Chứng minh SA=SC.

c) Kẻ DH vuông góc với AB; DH cắt BS tại E. Chứng minh E là trung điểm của DH.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O không song song với AD cắt AB tại M và CD tại N.

a) Chứng minh M đối xứng với N qua O.

b) Chứng tỏ rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O), trên đường tròn (O) lấy một điểm E bất kì (E khác A, B). Tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt Ax, By lần lượt tại C, D.

a) CM: CD = AC + BD.

b) Vẽ EF vuông góc AB tại F, BE cắt AC tại K. CM: AF.BC = KE.EB.

c) EF cắt CB tại I. CM tam giác AFC đồng dạng với tam giác BFD, suy ra FE là tia phân giác của góc CFD.

d) EA cắt CF tại M. EB cắt DF tại N. CM: M, I, N thẳng hàng.

Cho \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)

Đặt P = A.B. Tìm các giá trị của x để \(\left| P \right| = P\)

Cho tứ giác ABCD có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).

a) CMR: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.

b) So sánh độ dài AC và BD. Tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì thì AC = BD

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 11\\{x^2} + {y^2} + 3\left( {x + y} \right) = 28\end{array} \right.\)