Tự luận Toán 12 Bài tập cuối chương II (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Một chiếc máy bay đang bay trong không gian Oxyz, với tọa độ hiện tại là M(40; 10; 40). Đường bay mong muốn của máy bay đi qua hai điểm A(0; 10; 0) và B(20; 0; 10). Hãy tìm khoảng cách ngắn nhất từ vị trí hiện tại của máy bay đến đường bay mong muốn này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80 m, sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (tham khảo hình) (đơn vị trên mỗi trục tính theo km).

Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách từ máy bay đến ra đa (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a và \(AA' = a\sqrt 2 \). Khi đó:

(a) \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).

(b) Gọi M là trung điểm BC. Khi đó \(\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {CM} \).

(c)\(\overrightarrow {A'M} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

(d) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BC'} \) bằng 60°.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(3; 0; 0), B(0; −2; 0) và C(0; 0; −1).

(a) Điểm A thuộc trục hoành Ox.

(b) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;0} \right)\).

(c) Diện tích tam giác OAB bằng 3.

(d) Thể tích tứ diện OABC bằng 1.

Cho hình chóp \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc, cạnh \(AB = AC = a\) ,\(M\) là trung điểm của \(CB\),\(H\) là trung điểm của \(MD\). Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

(a) \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).

(b) \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\).

(c)\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).

(d) Góc giữa vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \(60^\circ \).