Bài tập Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu (có lời giải)

Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (nếu có).

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\).

Cho hai điểm \(A(1;0;0)\) và \(B(5;0;0)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M(x;y;z)\) thoả mãn \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = 0\) thì \(M\) thuộc một mặt cầu \((S)\). Tìm tâm và bán kính của \((S)\).

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0\).

Lập phương trình mặt cầu \((S)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \((S)\) có tâm \(I(3; - 7;1)\) và bán kính \(R = 2\);

b) \((S)\) có tâm \(I( - 1;4; - 5)\) và đi qua điểm \(M(3;1;2)\);

c) \((S)\) có đường kính là đoạn thẳng CD với \(C(1; - 3; - 1)\) và \(D( - 3;1;2)\).

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: \((S):{(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} + {(z + 1)^2} = 81\);

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x - 2y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) chứa \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\) trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính \(R = 1\).

b) Đường kính AB, với \(A(1; - 1;2),B(2; - 3; - 1)\).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0\). Xác định tâm, tính bán kính của \((S)\).

Viết phương trình mặt cầu \((S)\) :

a) Có tâm \(I(7; - 3;0)\), bán kính \(R = 8\);

b) Có tâm \(M(3;1; - 4)\) và đi qua điểm \(N(1;0;1)\);

c) Có đường kính AB với \(A(4;6;8)\) và \(B(2;4;4)\).

Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\left( {{P_1}} \right):2x + 2y - z - 1 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\).

Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị), biết \(\left( {{P_1}} \right):5x + 12y - 13z - 14 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right):13x - 5y - 12z + 7 = 0\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\);

b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}\).

Chứng minh rằng phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z - 11 = 0\) là phương trình của một mặt cầu. Tìm tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu đó.

Cho hai đường thằng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4{t_1}}\\{y = 9 + {t_1}}\\{z = 1 - 6{t_1}}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4 + 3{t_2}}\\{y = 1 - 18{t_2}}\\{z =  - 5 - {t_2}}\end{array}} \right.\) ( \({t_1},{t_2}\) là tham số). Chứng minh rằng \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

Lập phương trình mặt cầu tâm \(I( - 3; - 7;8)\), biết mặt cầu đi qua điểm \(A( - 2; - 5;7)\).

Trong không gian Oxyz, xác định tâm \(I\) và bán kính \(r\) của mặt cầu có phương trình:

a) \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16\);

b) \({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 4\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y - 1}}{{27}} = \frac{{z - 3}}{{ - 27}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 7}}{3}\);

b) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{7} = \frac{{y + 9}}{5} = \frac{{z + 15}}{8}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{3} = \frac{{z + 3}}{2}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 17}}{2} = \frac{{y - 33}}{{ - 3}} = \frac{{z + 16}}{2}\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu \((S)\) :

a) Có tâm \(O\), bán kính \(r\);

b) Có tâm \(I(1;2; - 3)\), bán kính \(r = 5\).

Cho mặt cầu \((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\) và bán kính 2 .

a) Lập phương trình mặt cầu \((S)\).

b) Lấy các điểm \(A(1;0; - 1)\) và \(B(1;1;0)\). Lâp phương trình đường thẳng AB. Tìm toạ độ các điểm \(C\) và \(D\) là giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu  (S).

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 - 5t}\\{y = 4 - 4t}\\{z =  - 1 + 3t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số) và \((P):3x + 4y + 5z + 60 = 0\).

Cho mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({x^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 5)^2} = 49\).

a) Xác định toạ độ tâm \(I\) và tính bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\).

b) Điểm \(A(0;3; - 5)\) có thuộc mặt cầu \((S)\) hay không?

c) Điểm \(B(1; - 4; - 1)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \((S)\) ?

d) Điểm \(C(7;3; - 5)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu \((S)\) ?

e) Lâp phương trình tham số của đường thẳng IC.

g) Xác định tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng IC và mặt cầu.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x - 2y + 2z - 1 = 0\) và hai điểm \(A(1; - 1;2)\), \(B( - 1;1;0)\).

a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((P)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(A\) và song song với mặt phẳng \((P)\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \((R)\) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng \((P)\).

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0\);

c) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0\).

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {(y + 5)^2} + {(z + 1)^2} = 2.{\rm{ }}\)

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng \((P):x + y + z - 1 = 0\) và mặt phẳng Oxy.

Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\).

Chứng minh rằng phương trình trên là phưởng trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Cho bốn điểm \(A(0;1;3),B( - 1;0;5),C(2;0;2)\) và \(D(1;1; - 2)\).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) và một vectơ vuông góc vởi cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của các đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABC)\).

Viết phương trình mặt cầu \((S)\): Có tâm \(M( - 2;1;3)\) và đi qua điểm \(N(2; - 3; - 4)\).

Cho bốn điềm \(A(1;0;0),B(0;1;0)\), \(C(0;0;1),D( - 2;1; - 1)\).

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(0;3; - 1)\) và có bán kính bằng khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \((P):3x + 2y - z = 0\).

Viết phương trình mặt cầu \((S)\) : Có tâm \(A(1;0; - 2)\) và đi qua điểm \(B(2;4;1)\).

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

a) Tâm \(O\) bán kính \(R\) với \(O\) là gốc toạ độ;

b) Đường kính AB với \(A(1;2;1),B(3;4;7)\).

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0\).

Cho mặt cầu có phương trình \({(x - 8)^2} + {(y + 7)^2} + {z^2} = 4\). Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S)\) có phương trình \({(x + 2)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}{\rm{. }}\)

a) Xác định tâm và bán kính của \((S)\).

b) Hỏi điểm \(M(2;0;1)\) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu \((S)\) ?

Cho bốn điểm \(A(0;1;1),B( - 1;0;3),C(0;0;2)\) và \(D(1;1; - 2)\).

a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\).

b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABC)\).

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 4 - 3t}\\{z =  - 1 + 4t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số) và \((P):x + y + z + 3 = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: \(d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}\text{ và }{d}^{\text{'}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}\text{. }\)

Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(d\) và song song với đường thẳng \({d^\prime }\).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm \(I(1;2;3)\) và mặt cầu tâm \(I\) đi qua điểm \(A(0;4;5)\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đó.

Lập phương trình mặt cầu có tâm \(I(0; - 12;3)\) và bán kính 4 .