Bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình mặt cầu (có lời giải)

Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí \(A(2;0;0)\). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kinh bằng 1 . Hỏi vị trí \(M(2;1;1)\) có thuộc vưng phư sóng của thiết bị nói trên hay không?

Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp thì tâm bão có tọ̣a độ \((300;200;1)\).

a) Lập phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10 , giật từ cấp 12 trở lên khoảng 100 km tính từ tâm bão.

b) Tại một vị trí có tọa độ \((350;245;1)\) thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão được mô tả ở câu a) không?

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng \(M\). Cho biết \(M\) đang nằm trên mặt sân có phương trình \(z = 0\), đồng thời thuộc mặt cầu \((S):{(x - 32)^2} + {(y - 50)^2} + {(z - 10)^2} = 109\) (đơn vị độ dài tính theo mét).

a) Tìm toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\).

b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc \(J\) của tâm \(I\) trên mặt sân.

c) Tính khoảng cách từ vị trí \(M\) của quả bóng đến điểm \(J\).

Phần mềm điều khiền máy in 3 D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm \(M(3;4;24)\) (đơn vị: cm ). Tính khoàng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình \(z - 4 = 0\).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (Hình vẽ ) được đặt ở vị trí \(I( - 3;2;7)\).

a) Sử dụng phương trình mặt cẩu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km .

b) Điểm \(A( - 2;1;8)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm \(A( - 2;1;8)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?

c) Điểm \(B(2;3;4)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoạiở điểm \(B(2;3;4)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?

Hình vẽ minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng \(H\) cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ \(O\) là chân tháp điều khiển của sân bay; trục Ox là hưởng đông, trục Oy là hướng bắc và trục Oz là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Trực thăng cất cánh từ điểm \(G\). Vectơ \(\vec r\) chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm \(t\) phút sau khi cất cánh \((t \ge 0)\) có toạ độ là: \(\vec r = (1 + t;0,5 + 2t;2t)\).

a) Tìm góc \(\theta \) mà đường bay tạo với phương ngang.

b) Lập phương trình đường thẳng GF, trong đó \(F\) là hình chiếu của điểm \(H\) lên mặt phẳng \((Oxy)\).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km . Tìm tọ̣ độ điểm mà máy bay trực thăng bắt đầu đi vào đám mây.

d) Giả sử một đỉnh núi nằm ở điểm \(M(5;4,5;3)\). Tìm giá trị của \(t\) khi HM vuông góc với đường bay GH. Tìm khoảng cách từ máy bay trực thăng đến đỉnh núi tại thời điểm đó.

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí \(B:{45}^{°}\text{N}{\mathrm{,30}}^{°}\text{E}\).

Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị tri đôi một cách nhau 2 m , người ta lần lượt thả dầy dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị tri đó lần lượt có độ dài \(4\;{\rm{m}};4,4\;{\rm{m}};4,8\;{\rm{m}}\). Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như Hình vẽ.

a) Tìm toạ độ các điểm A, B, C, D.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((ABC)\) và mặt phẳng \((ACD)\).

c) Viết phương trình tham số của đường thẳng AC.

d) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm \(M(0;60;40)\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((ABC)\).

Biết rằng nếu vị trí M có vĩ độ và kinh độ tương ứng là \({\alpha}^{°}N,{\beta}^{°}E(0<\alpha <90, 0<\beta <90)\) thì có toạ độ \(M\left(\mathrm{cos}{\alpha}^{°}\mathrm{cos}{\beta}^{°};\mathrm{cos}{\alpha}^{°}\mathrm{sin}{\beta}^{°};\mathrm{sin}{\alpha}^{°}\right)\). Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí  đến vị trí \(Q:{80}^{°}\text{N}{\mathrm{,70}}^{°}\text{E}\).

Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết toạ độ tâm mặt cầu là \(I(360;200;400)\) và bán kính \(r = 2\;{\rm{m}}\). Viết phương trình mặt cầu.