Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 85)

Tìm GTLN của a² + b² + c² biết a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 6.

Tìm x để 50 chia hết cho x + 1.

Tìm GTNN của A = x² – 6x + 6.

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x² – xy + y + 2 = 0.

Đội văn nghệ có 36 bạn, được xếp thành các hàng có số người bằng nhau. Hỏi có thể có những cách xếp hàng nào, biết mỗi hàng có từ 4 đến 12 bạn.

cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD, kẻ CH vuông góc với AD, CK vuông góc với AB.

a, Chứng minh tam giác BCK đồng dạng tam giác DCH.

b, Chứng minh tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA.

c, Chứng minh HK = AC.sin\(\widehat{BAD}\)

d, Tính diện tích của tứ giác AKCH nếu , AB = 4cm, AC = 5cm.

Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABGD và ACEF, vẽ đường cao AH, kéo dài HA gặp DF tại I. Chứng minh: DI = IF.

Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi xuất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh BC.BE.CF = AH³.

Cho A = (2m - 1; 2m + 3) và B = (-1; 1).

Xác định m để B là tập con A và A ∩ B = ∅.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3); B(-2;2); C(-1;-3). Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Cho A = 2 + 2² +....... + 2⁶⁰.

a) Thu gọn tổng A.

b) Chứng tỏ rằng: A chia hết cho 3, 5, 7.

Giải phương trình x(x − 3) – x + 3 = 0.

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Xác định hiệu \(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC},\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN},\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{CP}\)

Tìm x, y, z biết: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\) và x – y + z = –4.

Một ô tô chạy 100km hết 12 lít xăng. Hỏi cần bao nhiêu lít xăng khi ô tô chạy quãng đường thứ nhất 138km và quãng đường thứ hai 162km?

Chứng minh tồn tại vô hạn các số nguyên tố.

Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện \(\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=4\). Tìm min của \(P=\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}\)

Chứng minh biểu thức \(A=\frac{{\left(1-{\mathrm{tan}}^{2}x\right)}^{2}}{4{\mathrm{tan}}^{2}x}-\frac{1}{4{\mathrm{sin}}^{2}x{\mathrm{cos}}^{2}x}\) không phụ thuộc vào x.

Chứng minh rằng nếu \(\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)\) chia hết cho 11 thì \(\overline{abcd}\) cũng chia hết cho 11 (biết rằng \(\overline{ab},\overline{cd}\) là số tự nhiên có hai chữ số; \(\overline{abcd}\) là số tự nhiên có 4 chữ số).

Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính. Số đo theo rađian của cung đó là?

Tính \(C=\sqrt{{a}^{8}+10a+13}+a\) biết a là nghiệm dương của phương trình \(\sqrt{2}\)x² + x – 1 = 0.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = (2m + 10)x - 4m - 1 và điểm A(-2;3). Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng lớn nhất.

Chứng minh B = 3 + 3² + … + 3⁹⁹ không phải là số chính phương.

Cho 2 số thực dương a, b thỏa mãn a² + 2ab + 2b² – 2b = 8.

Chứng minh rằng 0 < a + b ≤ 3.

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE.

Chứng minh:

a) Tứ giác BEDC là hình thang cân.

b) BE = ED = DC.

c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng.

Cho A = 3 + 3² + 3³ + … + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰. Hỏi 2A + 3 có phải là số chính phương không?

Tìm tập hợp các số tự nhiên n sao cho (3n + 7) chia hết cho (n - 2).

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AE ⊥ BC tại E, DF ⊥ AB tại F. Biết AE = DF. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi.

Cho tam giác ABC. Chứng minh

\(\mathrm{cos}\frac{A}{2}.\mathrm{cos}\frac{B}{2}.\mathrm{cos}\frac{C}{2}=\mathrm{sin}\frac{A}{2}.\mathrm{sin}\frac{B}{2}.\mathrm{cos}\frac{C}{2}+\mathrm{sin}\frac{A}{2}.\mathrm{cos}\frac{B}{2}.\mathrm{sin}\frac{C}{2}+\mathrm{cos}\frac{A}{2}.\mathrm{sin}\frac{B}{2}.\mathrm{sin}\frac{C}{2}\)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N. Tính số đo góc \(\widehat{MON}\)

Cho A = 2 + 2² + … + 2¹⁰⁰. Chứng minh rằng A chia hết cho 3.

Cho hình bình hành ABCD. Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{ AD}=\overrightarrow{b}\). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{CG}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\)

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, CD. Chứng minh MN // (SBC).

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc với nhau.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 1,8cm, HC = 3,2cm

a) Tính AH, AB, AC.

b) Tính góc B, C (làm tròn đến độ).

c) Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Tính BD.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5(xy + yz + zx) = 4xyz.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m

có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.