Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 76)

Cho hàm số bậc nhất y = (2k – 1)x + 3 – k (k là hệ số) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm giá trị của k để đồ thị hàm số song song với đường thẳng (m):

y = 0,5x – 3.

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′có thể tích là V. Gọi I, Jlần lượt là trung điểm hai cạnh AA′và BB′. Tính thể tích của khối đa diện ABCIJC′.

Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3; 5); B(1; 2) và C(5; 2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\overrightarrow v = (1; - 5)\), điểm A(2; 2), đường thẳng d: 3x + 4y − 4 = 0. Xác định đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow v \).

Cho các tập hợp: \(A = ( - \infty ;m)\) và B = [3m – 1; 3m + 1]. Tìm giá trị m để A Ç B = Æ.

Tìm x, y trên hình vẽ, trong đó AB // EF // GH // CD.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x – y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \) biến d thành chính nó. Tìm \(\overrightarrow v \).

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f[f(cos x) − 1] = 0 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0;2π]?

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn. Qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng AC. BD = R².

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng: AD.AB = AE.AC = HC.HB.

Giải hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).

Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 2m - 3}}{{x - m}}\)   với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). Tìm số phần tử của S.

Rút gọn biểu thức: \(5\sqrt {\frac{1}{5}} + \frac{1}{{20}}\sqrt {20} + \sqrt 5 \).

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số a, b, c, d?

Tìm chu kì của hàm số \(y = \sin \sqrt x \).

Tìm trung bình cộng của các số sau:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.

Giải hệ phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;1). Tìm điểm là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 45º.

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. So sánh diện tích tam giác AGB, BGC và CGA.

Đồ thị hàm số y = −x³ + 3mx² – 3, có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x + 8y − 74 = 0 khi m bằng.

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. So sánh diện tích tam giác AGB, BGC và CGA.

Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ − 3x² + mx có hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau qua đường thẳng x − 2y − 5 = 0.

Cho hình bình hành ABCD, AB > AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng tùy ý qua O cắt AB, CD lần lượt tai M, N. Chứng minh: Tứ giác BMDN là hình bình hành.

Cho B = [3;+∞), C = (−∞;−2). Tìm B Ç C.

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong mỗi số đều có mặt các chữ số 8 và 9?

Phép vị tự là gì?

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y)}^2}\left( {8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13} \right) + 5 = 0}\\{2x + \frac{1}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với (SBD).

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Gọi Ax By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn. Qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng CD = AC + BD, \(\widehat {COD} = 90^\circ \).

Tìm tập xác định D của hàm số y = log₂(x³ − 8)¹⁰⁰⁰ .

Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin \,\,2x}}\).

Tính tan 45º + cot 135º.

Cho a là góc tù và \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\). Tính giá trị của biểu thức: A = 2sin a– cos a.

Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của điểm M(−6;1) qua phép quay Q(O; 90°).

Gieo đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.

Điền dấu thích hợp vào chỗ chấm: 9m50cm…905 cm.

Cho hai tập hợp A = [−2; 3] ; B = (m; m + 6). Tìm điều kiện để A ⊂ B.

Cho hình bình hành ABCD, AB > AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đường thẳng tùy ý qua O cắt AB,CD lần lượt tai M, N. Chứng minh:

OM = ON.

Cho Parabol  (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – m + 1.

a) Tìm toạ  độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 4.

b) Tìm m để (d) cắt (P) tạo hai điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x₁ = 9x₂.

Cho hàm số bậc nhất y = (2k – 1)x + 3 – k (k là hệ số) có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm giá trị của k để đồ thị hàm số cắt đường thẳng (d’): y = 2x + 1 tại điểm có hoành độ bằng –2.

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2;3). Tìm điểm là ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thắng d: x − y = 0.

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 000 đồng. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm lần lượt là bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\)có mấy đường tiệm cận ngang?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; −1), B(1; 4; −1), C(2; 4; 3), D(2; 2; −1), biết M(x; y; z) để MA2 + MB2 + MC² + MD² đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng bao nhiêu?

Cho phương trình: x² – 4x + m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁² + x₂² = 12.

Cho A = (m; m + 1); B = (1;4). Tìm m để \(A \cap B \ne \emptyset \).

Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(2x) − 2x + 1 trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).

Giải phương trình: 4sin³ x + 3cos³ x – 3sin x – sin² xcos x = 0.

Phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “13 là số nguyên tố”

Rút gọn biểu thức:

\(A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}\) (x > 0, x ¹ 1)

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z + 6 = 0 và các điểm A(−1; 2; 3), B(3; 0; −1), C(1; 4; 7). Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 + MC² nhỏ nhất.

Nếu phép tịnh tiến biến điểm A(1;2) thành điểm A′(−2;3) thì nó biến điểm B(0;1) thành điểm nào?

Chứng minh đẳng thức: (1 + sin x)(cot x – cos x) = cos³ x.

Tìm nghiệm của phương trình cos x = −1.

Chứng minh \(1 + tanx + ta{n^2}x + ta{n^3}x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}{{{{\cos }^3}x}}\).

Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a. CD = a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60º. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết 2 mặt phẳng ( SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Cho hai tập hợp: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|1 \le \left| x \right| \le 2} \right\};\,\,B = \left( { - \infty ;m - 2} \right)\, \cup \left[ {m; + \infty } \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A \subset B\).

Tìm điều kiện của hàm số \(y = \frac{{3\sqrt {\sin \,x} }}{{\cos x + 1}}\).

Cho hai tập hợp: \(A = \left( { - \infty ;\,\,m} \right)\) và \(B = \left( {2;\, + \infty } \right)\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để \(A \cup B = \mathbb{R}\).

Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Tìm số cách sắp xếp.

Có 6 học sinh và 3thầy giáo A, B, C ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 người đó sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?

Viết gọn tích sau dưới dạng lũy thừa:

a) 2.4.8.8.8;

b) x.x.x.x.x.

rong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow v \) = (1; −3) và đường thẳng d có phương trình 2x − 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow v }}\) .

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = log(x² − 2mx + 4) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Cho 2 tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| > 4} \right\},\,\,B = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 5 \le x - 1 < 5} \right\}\).

Tìm A Ç B.

Tìm m để các bất phương trình \(\frac{{3\sin \,2x + \cos \,2x}}{{\sin \,2x + 4\cos {\,^2}\,x + 1}} \le m + 1\) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình: 2x – y ≥ 0.

Tìm m để hai đồ thị hàm số y = 2x – 1 và y’ = –x + m cắt nhau tại 1 điểm có hoành độ bằng 2.

Tìm tập xác định D của hàm số:

\(y = {\log _{2019}}\left( {4 - {x^2}} \right) + {\left( {2x - 3} \right)^{ - 2019}}\)

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}\)\((k \in \mathbb{Z})\).

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có cạnh bằng 2a. Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A′B′C′D′.

Tìm cực trị của hàm số y = 2x³– 6x + 2.

Cho tập hợp khác rỗng \(A = ( - \infty ;m)\) và B = [2m – 2; 2m + 2]. Tìm \(m \in \mathbb{R}\) để \(({C_\mathbb{R}}A) \cap B \ne \emptyset \).

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, SA = a. Gọi Hlà hình chiếu của A trên SB. Tính khoảng cách giữa AH và BC.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y + 2 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0).

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} = \overrightarrow 0 \).

Trong một cuộc thi chạy 1000 m, khi An về đích thì Bình cách đích 40 m, Cường còn cách đích 100 m. Hỏi nếu Cường và Bình giữ nguyên vận tốc thì khi Bình về đích thì Cường còn cách đích bao nhiêu?

Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\{0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.

Cho tam giác ABC có a² = b² + c² − bc. Tính số đo của góc A.

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông cạnh bằng2a.Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCDbằng \(\frac{{4{a^3}}}{3}\).Gọi α là góc giữa SCvà mặt đáy. Tính tan α.

Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ sau:

y = 7 + x – x², với x₀ = 1.

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′có thể tích là V. Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(B = \sqrt {4{a^2} - 4a + 1} \; + \;\sqrt {4{a^2} - 12a + 9} \).

Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;3). Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Ox.

Hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

Giải phương trình: \({x^2} + 6x + 1 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3} \).

Cho hàm số y = −x³ + 3mx² − 3m − 1 = 0 với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.

Cho biểu thức B = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁴ + ….+ 4⁵⁰. Chứng minh rằng: B chia hết cho 21.

Cho phương trình: x² – 4x + m = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁³ + x₂³ – 5(x₁² + x₂²) = 26.

Chứng minh rằng: (x – y)(xⁿ – yⁿ) chia hết cho (x – y)².

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm số nghiệm của phương trình f(x) = 3. 

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′có thể tích là V. Gọi I, Jlần lượt là trung điểm hai cạnh AA′và BB′. Tính thể tích của khối đa diện ABCIJC′.

Cho hai tập hợp:

A = {1; 3}; B = {1; 2}

Tìm A ∪ B ; A ∩ B ; A \ B ; B \ A.

Tìm 5 số chẵn liên tiếp, biết TBC của chúng bằng 126