Tự luận tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 59)

Cho (O, R), lấy điểm A cách O một khoảng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Chứng minh tam giác OBA vuông tại B và tam giác OAK cân tại K.

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = - {x^3} - 3{x^2} + m\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} - {\log _{\frac{1}{2}}}x\) + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau mà số đó nhất thiết có mặt các chữ số 1, 2, 5?

Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của biểu thức (x + 3)⁶.

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; R) và (O′; R). AB là một dây cung của đường tròn (O; R) sao cho tam giác O′AB là tam giác đều và mặt phẳng (O′AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O; R) một góc \(60^\circ .\) Tính theo R thể tích V của khối trụ đã cho.

Tìm tập nghiệm của phương trình \({9^x} - {4.3^x} + 3 = 0.\)

Cho hình chóp tam giác S.ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.AMN và S.ABC.

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [-2017; 2017] để phương trình log(mx) = 2.log(x + 1) có nghiệm duy nhất?

Trong khai triển (1 – 3x)ⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ. Tìm a₂ biết a₀ – a₁ + a₂ – a₃ + ... + (-1)ⁿa_n = 2²⁰¹⁸.

Cho hàm số \(y = x\sqrt {4 - {x^2}} .\) Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số. Tính M + m.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng (α) đi qua AB cắt cạnh SC, SD lần lượt tại M, N. Tính tỉ số \(\frac{{SN}}{{SD}}\) để (α) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Có 5 cái bánh, chia đều cho 8 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần cái bánh?

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho \(AP = \frac{1}{3}AB.\) Gọi Q là giao điểm của SC và (MNP). Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SC}}.\)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right)g\left( x \right) + 2018\) trong đó g(x) < 0, ∀x ∈ ℝ. Hàm số y = f(1 – x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?

Tính tổng \(S = C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n.\)

Cho hàm số \(y = \sqrt {\left( {2m - 1} \right)\sin x - \left( {m + 2} \right)\cos x + 4m - 3} \) (1). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2019 của tham số m để hàm số (1) xác định với mọi x ∈ ℝ?