Tự luận Toán Bài 3: Tích của vecto với một số có đáp án tiếp theo (Mới nhất)

Cho tứ giác ABCDvà A'B'C'D'là các tứ giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(T=AA\text{'}+BB\text{'}+CC\text{'}+DD\text{'}\)

Cho DABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:

\(a)\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|\)

Cho \(\Delta ABC\)và \(\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}\)có cùng trọng tâm G, gọi \({G}_{1},{G}_{2},{G}_{3}\)là trọng tâm các tam giác\(BCA\text{'},CAB\text{'},ABC\text{'}\).Chứng minh rằng \(\Delta {G}_{1}{G}_{2}{G}_{3}\)cũng có trọng tâm G

b) \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\text{}\)cùng phương với véc tơ \(\overrightarrow{BC}\)

Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1điểm \({P}_{i},\text{}i=1,2,\mathrm{...},2n+1\left(n\in N\right)\)ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng \(\left|\sum _{i=1}^{2n+1}\overrightarrow{O{P}_{i}}\right|\ge 1\)

Cho tam giác có trung tuyến AA' và B' , C' là các điểm thay đổi trên CA, AB thoả mãn \(\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}\). Chứng minh BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC

Cho tam giác ABC có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABCvà A'B'C'có cùng trọng tâm.

Cho các tam giác \(ABC,\text{}A\text{'}B\text{'}C\text{'}\)có G, G’ lần lượt là trọng tâm . Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=3\overrightarrow{GG\text{'}}\). Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm .

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M trên đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABCsao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

a) Đạt giá trị lớn nhất

Cho tam giác ABCvà điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}\)thì M là trọng tâm tam giác ABC.

Cho tứ giác ABCD, M là điểm thuộc đoạn CD. Gọi \(p,\text{}{p}_{1},\text{}{p}_{2}\)lần lượt là chu vi của các tam giác \(AMB,\text{}ACB,\text{}ADB\). Chứng minh rằng \(p<\mathrm{max}\left\{{p}_{1};{p}_{2}\right\}\)

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,Slần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPRvà NQScó cùng trọng tâm.

b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức \(\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|\)

Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. A', B', C' là các điểm thỏa mãn:\(\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OA\text{'}},\text{}\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OB\text{'}},\text{}\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OC\text{'}}\). Chứng minh rằng G là trực tâm tam giác A'B'C'.

Cho tứ giác ABCD. Giả sử tồn tại điểm O sao cho \(OA=OB=OC=OD\)và \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\). Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Cho tứ giác ABCDcó trọng tâm G. Gọi \({G}_{1},\text{}{G}_{2},\text{}{G}_{3},\text{}{G}_{4}\)lần lượt là trọng tâm các tam giác \(\Delta ABC,\text{}\Delta BCD,\text{}\Delta CDA,\text{}\Delta DAB\). Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác \({G}_{1}{G}_{2}{G}_{3}{G}_{4}\)

Cho ABCcó BB', CC' là các trung tuyến, A' là điểm trên BC thoả mãn \(\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}\). Chứng minh AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC.

Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi \({A}_{1},{B}_{1},{C}_{1}\)lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm \({A}_{2},{B}_{2},{C}_{2}\)lần lượt thuộc các tia \(O{A}_{1},\text{}O{B}_{1},\text{}O{C}_{1}\)sao cho \(O{A}_{2}=a,\text{}O{B}_{2}=b,\text{}O{C}_{2}=c\). Chứng minh O là trọng tâm tam giác \({A}_{2}{B}_{2}{C}_{2}\)

Cho tam giác ABCvà đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất \(T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

Cho tam giác ABC, vẽ các hình bình hành \(ABIJ,\text{}BCPQ,\text{}CARS\). Chứng minh rằng \(\Delta RIP,\text{}\Delta JQS\)có cùng trọng tâm.

b) Đạt giá trị nhỏ nhất