Bài tập Tích phân cơ bản, nâng cao có lời giải (P8)

Cho biết với mỗi \(u\ge 0\)phương trình \({t}^{3}+ut-8= 0\) có nghiệm dương duy nhất f(u) Hãy tính \({\int}_{0}^{7}{f}^{2}\left(u\right)du\)

Cho hàm số \(g\left(x\right) = {\int}_{x}^{{x}^{2}}\frac{dt}{\mathrm{ln}t}\) với x>1. Tìm tập giá trị T của hàm số

Tính nguyên hàm \(\int \frac{\mathrm{ln}(\mathrm{ln} x)}{x}dx\)

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho \(h\text{'}\left(t\right) = 3a{t}^{2}+bt\) và:

- Ban đầu bể không có nước

- Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là \(150{m}^{3}\)

- Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là \(1100{m}^{3}\)

Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.

Cho hàm số f(x) thỏa f(1)=30; f'(x) liên tục và \({\int}_{1}^{4}f\text{'}\left(x\right)dx = 70\). Tính giá trị của f(4)

Ở một thành phố nhiệt độ (theo ℉) sau t giờ, tính từ 8 giờ sáng được mô hình hóa bởi hàm \(T\left(t\right) = 50+14\mathrm{sin}\frac{\mathrm{\pi t}}{2}\). Tìm nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 8 giờ sáng đến 8 giờ tối. (Lấy kết quả gần đúng)

Cho số thực a bất kì và giả sử f  là môt hàm liên tục. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho \(a\in \left(0;\frac{\mathrm{\pi}}{2}\right)\). Hãy tính \({\int}_{e}^{\mathrm{tan} a}\frac{xdx}{1+{x}^{2}}+{\int}_{e}^{\mathrm{co}t a}\frac{dx}{x(1+{x}^{2})}\)

Tính thể tích V của vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình (H) giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt{{\mathrm{log}}_{2}x}\), x+y-3=0; y=0

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt{x}\), trục tung và đường thẳng y=2 quay quanh trục Oy.

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left(x\right) = \frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}+x+1}\)

Cho \({\int}_{0}^{\frac{\mathrm{\pi}}{2}}(2x-1-\mathrm{sin}x)dx = \mathrm{\pi}\left(\frac{\mathrm{\pi}}{\mathrm{a}}-\frac{1}{\mathrm{b}}\right)-1\). Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai?