Bài tập Tích phân cơ bản, nâng cao có lời giải (P5)

Cho vật thể H nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; x = 1 . Biết rằng thiết diện của vật thể H cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x là một tam giác đều có cạnh là \(\sqrt[4]{\mathrm{ln}(1+x)}\) . Giả sử thể tích V của vật thể có kết quả là \(V =a\sqrt{b}(c\mathrm{ln}2 - 1)\)  với a, b, c là các số nguyên. Tính tổng \(S = {a}^{2}-ab+c\)

Nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right) = {x}^{2} + \frac{3}{x}-2\sqrt{x} (x>0)\).

Tính tích phân \(I = {\int}_{0}^{1}\frac{{x}^{n}}{1+x+{\displaystyle \frac{{x}^{2}}{2!}}+{\displaystyle \frac{{x}^{3}}{3!}}+...+{\displaystyle \frac{{x}^{n}}{n!}}}dx\),\(n\in {N}^{*}\) ta được kết quả

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right) = 4{x}^{3}-\frac{1}{{x}^{2}}+3x\)và thỏa mãn 5F(1) + F(2) = 43.Tính F(2).

Cho hàm số \(f\left(x\right) = \mathrm{tan}x (2cotx- \sqrt{2}\mathrm{cos}x + {\mathrm{cos}}^{2}x)\) có nguyên hàm là F(x) và \(F\left(\frac{\mathrm{\pi}}{4}\right)= \frac{\mathrm{\pi}}{2}\) . Giả sử \(F\left(x\right) = ax + \sqrt{b}\mathrm{cos}x - \frac{\mathrm{cos} cx}{2} -d\) . Chọn phát biểu đúng.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật (H) có một cạnh nằm trên trục hoành, và có hai đỉnh trên một đường chéo là A(-1;0) và \(C(m;\sqrt{m})\), với m>0. Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \sqrt{x}\) chia hình (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau, tìm m

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt{1-{x}^{2}}\) quanh trục Ox.

Cho hàm số y = f(x)  liên tục trên R  và hàm số \(y =g\left(x\right) = xf\left({x}^{2}\right)\)  có đồ thị trên đoạn [1;2]  như hình vẽ bên.

Biết phần diện tích miền được tô màu là S = 5/2 , tính tích phân \(I = {\int}_{1}^{4}f\left(x\right)dx\)

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left(x\right) = ax + \frac{b}{{x}^{2}}\),biết rằng F(-1) = 1; F(1) = 4; f(1) = 0

Cho a là số thực dương, tính tích phân \(I = {\int}_{-1}^{a}\left|x\right|dx\) theo a

Cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2], biết F(2)=1 và \({\int}_{1}^{2}F\left(x\right)dx = 5\). Tính \(I = {\int}_{1}^{2}(x-1)f\left(x\right)dx\)

Giả sử hàm số y = f(x)  liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng \(\left(0;+\infty \right)\)  và thỏa mãn f(1) = 1; \(f\left(x\right) = f\text{'}\left(x\right)\sqrt{3x+1}\). Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề dưới đây