Bài tập nguyên hàm tích phân cơ bản, nâng cao (P4)

Cho hàm số f(x) liên tục trên \([0;\frac{3\mathrm{\pi}}{2}]\) và thỏa mãn \({\int}_{0}^{\frac{3\mathrm{\pi}}{2}}f\left(x\right)dx=5, {\int}_{-\mathrm{\pi}}^{\mathrm{\pi}}f\left(x\right)dx=2\) Khi đó giá trị của \({\int}_{0}^{\frac{\mathrm{\pi}}{2}}f\left(x\right)dx+{\int}_{\mathrm{\pi}}^{\frac{3\mathrm{\pi}}{2}}f\left(x\right)dx\) bằng

Để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={x}^{2}+3ax+2{a}^{2},a>0\) và trục hoành có diện tích bằng 36 thì

Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)={\mathrm{sin}}^{3}x\mathrm{cos}x\) Giá trị của biểu thức \(F\left(\frac{\mathrm{\pi}}{2}\right)-F\left(0\right)\) bằng

Biết\(F\left(x\right)=a\mathrm{ln}|x-1|+b\mathrm{ln}|x-2| (a,b\in Z)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}\). Giá trị của biểu thức b-a bằng

Cho \({\int}_{\mathrm{ln}2}^{\mathrm{ln}3}(\frac{1}{x}+3)dx=\mathrm{ln}\left(a{\mathrm{log}}_{b}c\right)\)Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho \(F\left(x\right)={4}^{x}\) là một nguyên hàm của hàm số \({2}^{x}.f\left(x\right)\) Tích phân \({\int}_{0}^{1}\frac{f\text{'}\left(x\right)}{{\mathrm{ln}}^{2}2}dx\) bằng

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (P):\(y=\sqrt{3}{x}^{2}\) cung tròn \(y=\sqrt{4-{x}^{2}} (0\le x\le 2)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H)xung quanh trục Ox bằng

Cho hàm số f(x)thỏa mãn \({\int}_{1}^{2}(2x+3).f\text{'}\left(x\right)dx=15\)và \(7.f\left(2\right)-5.f\left(1\right)=8\)Tính I=\({\int}_{1}^{2}f\left(x\right)dx\).

Cho \({\int}_{0}^{\frac{\mathrm{\pi}}{4}}\frac{({\mathrm{cos}}^{2}x-1)d\left(\mathrm{cos}x\right)}{{\mathrm{cos}}^{2}x}=\frac{a}{\sqrt{2}}+2b (a,b\in Z)\). Tính \(\mathrm{S}={\mathrm{a}}^{4}-{\mathrm{b}}^{4}\)

Biết \({\int}_{1}^{4}f\left(x\right)=6\)và \({\int}_{4}^{5}f\left(x\right)dx=10\), khi đó \({\int}_{1}^{2}f(4x-3)dx-{\int}_{0}^{\mathrm{ln}2}f\left({e}^{2x}\right){e}^{2x}dx\)bằng

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{1}{x};y=0;x=1;x=a, (a>1)\)Tìm ađể V = 2.

Cho\({\int}_{1}^{e}\left[\frac{1}{x}+\frac{\mathrm{ln}x}{x{(\mathrm{ln}x+2)}^{2}}\right]dx=a\mathrm{ln}3+b\mathrm{ln}2+\frac{c}{3}\)với \(a,b,c\in Z\). Giá trị của \({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\)bằng

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\mathrm{tan}x, x=0, x=\frac{\mathrm{\pi}}{3}\) và trục hoành bằng

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=\({(\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x)}^{2}\)là