Bài tập Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (có lời giải)

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm \(A(0;0;0),B(a;0;0)\), \(D(0;b;0),S(0;0;c)\) với a, b, c là các số dương (Hinh vẽ ).

a) Tìm toạ độ của điểm \(C\), trung điểm \(M\) của BC, trọng tâm \(G\) của tam giác SCD.

b) Lâp phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD).

Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Tính khoảng cách từ \(M\) đến các mặt phẳng \(x - a = 0\), \(y - b = 0,z - c = 0\).

Cho mặt phẳng \((P):2x - 2y - z + 3 = 0\) và điểm \({M_0}(3;1; - 5)\). Tính khoảng cách từ điểm \({M_0}\) đến mặt phẳng \((P)\).

Tính chiều cao của hình chóp S.ABC có toạ độ các đỉnh là \(S(5;0;1),A(1;1;1)\), \(B(2;3;4),C(5;2;3)\).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\) : \(2x + 3y - 6z - 7 = 0,(\beta ):2x + 3y - 6z + 14 = 0\).

a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm \(M(1; - 2;3)\) đến \((\alpha )\).

b) Chứng minh \((\alpha )//(\beta )\) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\).

Tính khoảng cách từ điểm \(M(1;2;3)\) đến các mặt phẳng sau:

a) \((P):x + y + z + 12 = 0\);                           b) \((Q):4x + 3y + 10 = 0\).

Cho hai mă̆t phẳng \(\left( {{P_1}} \right):x + 2y - 3z + 5 = 0\) và \(\left( {{P_2}} \right): - 4x - 8y + 12z + 3 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)\).

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm \(M(1;2; - 1)\) đến mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 5 = 0\).

Cho hình chóp S.ABC thoả mãn $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={90}^{°}$. Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng

\(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}{\rm{. }}\)

Cho mặt phẳng \((P):2x - 3y + 6z - 7 = 0\) và điểm \(M(5;2; - 3)\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((P)\).

Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm \(M(1; - 2;13)\) đến mặt phẳng \((P):2x - 2y - z + 3 = 0\).

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((P):x + 3y + z + 2 = 0\) và \((Q):x + 3y + z + 5 = 0\).

a) Chứng minh rằng \((P)\) và \((Q)\) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc \((P)\), tính khoảng cách từ điểm đó đến \((Q)\). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).